微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题 【题型归纳目录】 题型一：轨迹图形 题型二：轨迹长度 题型三：轨迹面积 【典型例题】 题型一：轨迹图形 例1．（2023·高一课时练习）如图，在正方体中，点P在侧面及边界上运动，并且保持，则动点P的轨迹是（ ） A．线段 B．线段 C．AD的中点与的中点连成的线段 D．的中点与的中点连成的线段 【答案】A 【解析】连接，由 得平面, 即点在线段上运动时，总有， 即动点的轨迹是线段， 故选A. 例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持平面．则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别取、的中点、，连接，，， 又∵是的中点，∴，， 又∵面，面， ∴面，面， 又∵， 平面，∴面面， ∴当在上移动时，面，此时能够保持平面， 则动点的轨迹与组成的相关图形是选项A 故选：A． 例3．（2023·浙江杭州·高一期末）点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为 (　 　) A．线段B1C B．BB1的中点与CC1的中点连成的线段 C．线段BC1 D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段 【答案】A 【解析】∵AP⊥BD1恒成立， ∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1． ∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A， ∴BD1⊥面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．故选A． 例4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，三棱锥的底面在平面内，且，平面平面，点是定点，则动点的轨迹是 A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 【答案】D 【解析】因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC， AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°. 所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点. 选D. 例5．（2023·河北保定·高一定州一中阶段练习）如图，设正方体的棱长为，是底面上的动点，是线段上的动点，且四面体的体积为，则的轨迹为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 当点在线段上运动时，到的距离即为两平行线与的距离， ∵正方体的棱长为，∴与的距离为， 设到的距离为 ，则 ，． 再设到平面的距离为， ∴的轨迹为平面内与平面 行，且距离为的一条线段． 故选：A． 题型二：轨迹长度 例6．（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是 A．若为的外心，则 B．若为等边三角形，则 C．当时，与平面所成角的范围为 D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为 【答案】B 【解析】若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误； 当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C正确； 取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确 例7．（2023·湖南娄底·高一娄底一中校考期末）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM//平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为 A． B．π C．2 D． 【答案】D 【解析】设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF， 则F为B1C1的中点． 分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO， 则∵A1F∥AO，AN∥DE，A1F，DE⊂平面A1DE， AO，AN⊂平面ANO， ∴A1F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO， ∵A1F、DE是平面A1DE内的相交直线， ∴平面A1DE∥平面ANO， 所以NO∥平面A1DE， ∴直线NO⊂平面A1DE， ∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NO． ∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO． 故选D. 例8．（2023·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）如图，直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为AC,所以平面；取中点N,因为,所以平面，从而平面平面,即动点的轨迹为线段HF,因此长度为4， 选A. 例9．（2023·全国·高一专题练习）圆锥的轴截面是边长为4的正三角形（为顶点），为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D