1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题分层梯度式训练-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 基础过关练 题组一　用空间向量求空间距离 1.(2021辽宁沈阳期末)已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2), C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于(　　) A.3　　　　　　　B.4 C.5　　　　　　　D.6 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A. C. 3.平面直角坐标系xOy中,Ⅰ、Ⅱ象限所在的半平面记为α,Ⅲ、Ⅳ象限所在的半平面记为β,x轴记为l,已知点A(-2,3),点B(3,-2),将半平面β沿直线l折起,使得二面角α-l-β的平面角的大小为60°,这时A,B两点间的距离为　　　　.  4.(2020上海交通大学附属中学检测)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为　　　　.  5.(2022辽宁抚顺一中开学考试)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N之间的距离为　　　　.  6.(2022重庆名校联盟月考)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,四边形AEC1F为平行四边形. (1)求BF的长; (2)求点C到平面AEC1F的距离. 题组二　用空间向量求空间角 7.(多选)(2022浙江金华建华中学月考)直线l的方向向量为a,平面α,β的法向量分别为n,m,则下列命题为真命题的是(　　) A.若a⊥n,则直线l∥平面α B.若a∥n,则直线l⊥平面α C.若cos<a,n>=,则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos<m,n>=,则平面α,β的夹角为 8.(2020山西大学附属中学测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成角的余弦值为(　　) A. 9.(2020黑龙江哈尔滨检测)在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a=　　　　.  10.(2021天津武清杨村三中月考)如图所示,几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF,当A1,E,F,C1共面时,求平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值. 11.(2021重庆三十七中月考)如图,已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的体对角线BD'上,满足BP=2PD'. (1)求DP与CC'所成角的余弦值; (2)求DP与平面AA'D'D所成角的正弦值. 12.如图所示,在三棱锥S-ABC中,O为BC的中点,SO⊥平面ABC,侧面SAB与SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值. 能力提升练 题组一　用空间向量求空间距离 1.(2022山东枣庄八中质检)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离　(　　) A.等于a　　　　　　　B.和EF的长度有关 C.等于a　　　　　　　D.和点Q的位置有关 2.(2022安徽合肥第六中学期中)如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是(　　) A. 3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是线段AB上一点,当平面PEC与平面ABCD的夹角为时,AE=　　　　,点D到面PEC的距离为　　　　.  4.(2022上海洋泾中学期中)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为,则正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为　　　　.  题组二　用空间向量求空间角 5.(2022湖北武汉第十四中学月考)如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则平面PBC与平面BFD夹角的正切值为(　　) A. 6.(2020河南省实验中学期中)已知菱形ABCD中,∠ABC=60°,沿对角线AC折起之后,平面BAC⊥平面DAC,则平面BCD与平面CDA的夹角的余弦值为(　　) A. C. 7.(2020陕西西安中学月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,E,F分别为A1C1,A1B1的中点,当AE和BF所成角的余弦值为时,AE与平面