1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系分层梯度式训练-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 基础过关练 题组一　直线的方向向量和平面的法向量 1.(2020北京一零一中学期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,4)　　　　　　　B.(1,4,2) C.(2,1,4)　　　　　　　D.(4,2,1) 2.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为　　　　.  3.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立空间直角坐标系,求平面SAB、平面SDC的一个法向量. 题组二　空间中直线、平面的平行问题 4.(2021海南北京师范大学万宁附属中学月考)若直线m的方向向量为a,平面α的法向量为μ,m⊄α,则能使m∥α的是(　　) A.a=(1,0,0),μ=(-2,0,0) B.a=(1,-1,3),μ=(0,3,1) C.a=(0,2,1),μ=(-1,0,1) D.a=(1,3,5),μ=(1,0,1) 5.(2022山东临沂平邑一中月考)已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量=(1,0,-2),=(1,1,1),则(　　) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α与平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 6.(2021海南海口海南中学期中)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　) A.x=6,y=15　　　　　　　 B.x=3,y=15 C.x= 题组三　空间中直线、平面的垂直问题 7.(2022安徽师大附中期中)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1与l2的位置关系是(　　) A.l1⊥l2　　　　　　　 B.l1∥l2 C.l1、l2相交但不垂直　　　　　　　D.不能确定 8.(2022吉林白城大安六中期中)已知直线l的一个方向向量d=(2,3,5),平面α的一个法向量u=(-4,m,n),若l⊥α,则m=　　　　,n=　　　　.  9.(2020陕西西安中学期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证: (1)BD1⊥平面AB1C; (2)平面EAC⊥平面AB1C. 能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　用空间向量研究平行、垂直问题 1.(多选)(2022山东潍坊第四中学月考)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是(　　) A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2 B.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β C.直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量u=(6,4,-1),则l⊥α D.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量u=(0,-5,0),则l∥α 2.(2021天津十三中月考)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　) A.(1,1,1)　　　　　　　 B. C. 3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证: (1)平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)C1F∥平面ABE. 题组二　用空间向量解决立体几何中的探索性问题 4.(2020天津一中月考)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B内(含边界),若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为(　　) A.8　　　　　B.4　　　　　C.8 5.(2021天津第四十二中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1=AB=BC=2. (1)求证:BC1⊥平面A1B1C; (2)点M在线段B1C上,且,在线段A1B上是否存在一点N,满足MN∥平面A1ACC1?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.A　由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,故选A. 2.答案　(1,1,1)(答案不唯一) 解析　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z). 由题意知=(-1,1,0),=(1,0,-1). 所以令x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1). 3.解析　由已知得SA,AB,AD两两垂