第八章 立体几何初步（单元提升卷）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步（单元提升卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法中正确的是　　 A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】 【解答】解：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台，故错误； 上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱， 例如两个斜棱柱的组合体，满足这种情况，但是不是棱柱，故错误； 棱台的底面是两个相似的多边形，故错误； 因为棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，所以棱台的侧棱延长后必交于一点，故正确． 故选：． 2．在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则　　 A．与可能垂直 B．在平面内的射影可能是 C．与不可能垂直 D．平面与平面不可能垂直 【答案】 【解答】解：当四面体为正四面体时，如图所示， 在平面上的射影为，即平面， 由于平面，所以． 延长交于，则， 由于，，平面，所以平面， 由于平面，所以，所以正确，错误． 若在平面内的射影是，则与平面垂直，与已知矛盾，错误． 平面与平面可能垂直，错误． 故选：． 3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为，母线长为， 因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 所以，则， 解得． 故选：． 4．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童” ，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为　　 A．224 B．448 C． D．147 【答案】 【解答】解：连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图， ． 因为“刍童” 上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等， 所以底面，又，所以底面， 所以是“刍童” 其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则， 因为，所以， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，，则，即“刍童” 的高为12， 则该刍童的体积． 故选：． 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形， 则圆锥底面圆的半径为，底面圆的面积为， 圆锥的表面积为． 故选：． 6．在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，取的中点，连接， 根据题意易得侧面， 直线与侧面所成的角为， 又易知，， 又，，，又， ，又易知， △为正三角形， ， ， 异面直线与所成的角为， 异面直线与所成的角的正弦值为， 故选：． 7．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，是的中点，则　　 A． B．平面 C．平面 D． 【答案】D 【解答】解：因为与异面，故错误； 因为的延长线必过点，则直线与平面相交，故错误； 因为与不垂直，所以不垂直于平面，故错误； 取的中点，连接，在正方形中，由，， 即，可得，所以． 连接，则，又平面底面， 平面底面， 所以平面． 因为平面，所以，且， 所以平面． 因为平面，所以故正确． 故选：． 8．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为6，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为是边长为6的正三角形，则其外接圆的半径，解得， 所以， 设圆柱的母线长为， 则，解得， 所以圆柱的外接球的半径， 所以外接球的表面积为． 故选：． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．如图所示，在长方体中，，，是的中点，直线交平面于点，则　　 A．，，三点共线 B．的长度为1 C．直线与平面所成角的正切值为 D．△的面积为 【答案】 【解答】解：连结，， 则， ，，，四点共面， 平面， ， 平面， 又平面， 在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， ，，三点共线，故正确； 设直线与平面的交点为， 易证平面平面，