4.4.1对数函数的概念 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1 对数函数的概念 问题1： 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分为4 个,……,一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的 个数 y 与 x 的函数关系是: 问题2：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律，得到y 与 x 的函数关系是： 问题引入 现在我们来研究相反的问题.如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数. x y o 1 3 作者：湛江市第五中学钟景荣 4.4.1 对数函数的概念 反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ y0 (x0 , y0) x0 x y o 1 即(0<y≤1) , 4 作者：湛江市第五中学钟景荣 4.4.1 对数函数的概念 反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 过y轴正半轴上任意一点(0,y0)(0<y0≤1)作x轴的平行线，与y= 由y= , 得y= , x= , 在[0 , +∞)上都有唯一确定的数x和它对应. y0 (x0 , y0) x0 的图象有且只有一个交点(x0 , y0). 即, 通过对应关系 5 所以x也是y的函数，也就是说，函数x= (y∈(0,1])刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律. 同样地，根据指数与对数的关系，由y=ax (a>0, 且a≠1) 通常我们用x表示自变量，y表示函数. 为此将x=logay (a>0, 且a≠1)中的字母x和y对调，写成y=logax (a>0, 且a≠1). 可得x=logay (a>0, 且a≠1), x也是y的函数. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 注：“”前面的系数必须为1；真数部分必须为；底数必须要满足 对数函数的定义 辨析1：判断正误. (1)对数函数的定义域为 (2)函数是对数函数. (3)与都不是对数函数. 答案：×，×，√. 辨析2：若对数函数的图象经过，则此对数函数的 解析式为__________ . 答案： 变1.(1)函数是对数函数，则 实数 (2)函数是对数函数，则 函数 答案：(1)1；(2)-3. (1)∵,解得或1. 而且，∴即1. (2)∵，解得或-3. 而∴.即 ∴ 判断一个函数是对数的依据： (1)形式：形如； (2)系数：对数符号前面的系数为1； (3)底数：底数为大于0且不等于1的常数； (4)对数的真数仅有自变量 例1.求下列函数的定义域： (1) (2) 解：(1)∵即 ∴函数的定义域是 (2)∵即 ∴的定义域是 练习1.求下列函数的定义域. (1) (2) (3) 练习2.求下列函数的定义域. (1) (2) (3) 答案：(1)由 得且 ∴定义域为 (2)由得.即 ∴定义域为 (3)据题意得：且，得且 而即 ∴定义域为 求对数型函数定义域的原则： (1)分母不能为0； (2)根指数为偶数时，被开方数非负； (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1； (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形. 14 例2 假设某地初始物价为1, 每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x． x=(1+5%)y , (2)根据函数y=log1.05x (x∈[1, +∞)),利用计算工具,可得 数据表明该地区的物价随时间增长而增长,但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小. (1)该地的物价经过几年后会翻一番？ (2)填写下表,并根据表中的数据, 说明该地物价的变化规律． 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 解：(1)由题意可知，经过y年后物价x为 即x＝1.05y (y∈[0,+∞)) 由对数与指数间的关系，可得 y=log1.05x (x∈[1, +∞)). 由计算工具可得，当x=2时，y≈14． 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番． 14 23 28 33 37 40 43 45 47 练习1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数单位是是表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ 解:(1)由可知， 当时， 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是 练习1.大西