专题32 一次函数中菱形存在问题综合应用-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题32 一次函数中菱形存在问题综合应用 解答方法 1． 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．坐标系中的菱形： 有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同． 3．解题思路： （1）思路 1：先等腰，再菱形 在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确 定第 3 个点，再确定第 4 个点． （2）思路 2：先平行，再菱形 设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻 边相等，得到方程组． 方法总结： 菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。 为AB’典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB： 与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D． （1）求直线CD的解析表达式； （2）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，AB＝5，OA：OB＝3：4． （1）求直线l的表达式； （2）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标． 【变式1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线L2：y＝﹣x+6与L1：y＝x交于点A，分别与x轴、y轴交于点B、C． （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P是直线CD上的点，在平面内是否存在其它点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 夯实基础 1．如图在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝2x与直线l1交于点P． （1）A点坐标为 　 　，P点坐标为 　 　； （2）在线段AB上有一个动点M，过M点作直线MN∥y轴，与直线y＝2x相交于点N，若△PMN的面积为，求M点的坐标． （3）若点C为线段AB上一动点，在平面内是否存在点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由． 2．已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求直线l2的解析式； （2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△PAC的面积为10时，请求出点P的坐标． （3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）求四边形AODP的面积； （3）在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M的坐标； （3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题32 一次函数中菱形存在问题综合应用 解答方法 1． 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．坐标系中的菱形： 有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同． 3．解题思路： （1）思路 1：先等腰，再菱形 在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确 定第 3 个点，再确定第 4 个点． （2）思路 2：先平行，再菱形 设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻 边相等，得到方程组． 方法总结： 菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。 为AB’典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB： 与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B