第11章 反比例函数综合问题 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

反比例函数：综合问题 类型一：与不等式结合问题 1．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵(－)2≥0，∴a＋b－2≥0， ∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立． 【数学认识】在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a＋b≥2，只有当a＝b时，a＋b有最小值2 【解决问题】 （1）若x＞0时，x＋有最小值为 ，此时x＝ ； （2）如上图，已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图像上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图像上，AB∥y轴，过点A作AD⊥y轴于点 D，过点B作BC⊥y轴于点C．求四边形ABCD周长的最小值 （3）学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为100平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有5米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如下图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏L米，自行车棚长为x米．L是否存在最小值，如果存在，那么当x为何值时，L最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． 2．（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空： _________，_________，_________ （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由； （3）结论应用： 若a＞0，则当a＝_________时，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值为_________； （4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由 3．为了探索函数的图像与性质，我们参照学习函数的过程与方法． (1)先确定函数的自变量x的取值范围是______，然后运用描点法画出函数图像，下列可能是函数的图像的是________； (2)对于函数，当时，求y的取值范围．请将下列求解过程补充完整． 解：∵，∴______； ∵，∴_____． (3)某农户要建造一个如图所示的长方体形无盖水池，其底面积为4平方米，深为2米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元． ①请求出y与x的函数关系式； ②该农户建造这样的水池至少需要多少钱？ 4．（1）【阅读理解】对于任意正实数、． ∵， ∴， ∴，只有当时，． 结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值，根据上述内容，回答下列问题： 问题：若，当______时，有最小值为______． 问题：若函数，则当______时，函数有最小值为______． （2）【探索应用】如图，已知、，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 类型二：定值问题 5．如图1，在菱形中，对角线、相交于点，顶点、在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，轴． (1)若，，则菱形的面积为______； (2)①当点、在坐标轴上时，求的值． ②如图2，当点、、三点在同一直线上时，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 6．如图，动点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b． (1)若点M的坐标为（1，4）． ①直线BC的函数表达式为______； ②当 时，x的取值范围是______； ③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标； (2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值． 7．如图1，反比例函数的图象过点． (1)求反比例函数的表达式，判断点在不在该函数图象上，并说明理由； (2)反比例函数的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______； (3)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比例函数图象上一个动点，过点P分别作轴交直线l于点C，作轴交直线l于点D，请判断的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求P的坐标； (3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H； ①若，求点H的坐标； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 类型三：交点问题 9．如图1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知点A（0