2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径． 2．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径． 3．如图，在中，，以为直径的交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 4．如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别交、边于点、，连接，，已知平分，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 5．如图，是的直径，点是圆上异于，的点，连接线段和，点在的延长线上，且，过点作于点． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，在等腰中，，底边的高与腰上的高相交于点，且，是的外接圆，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 7．如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，是的中线，且，求的长． 8．如图，点在以为直径的上，平分交于点，过作的垂线，垂足为． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 10．如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使． (1)求证：与相切； (2)若的半径为1，求的长． 11．如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 12．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD． (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若BG的长为，⊙O的半径为1，求tanA． 13．如图，在中，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线于交于点F，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，求的长度． 14．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，BD⊥AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若BC＝8，，求⊙O的半径． 15．如图，AB是的弦，AC经过圆心O交于点D，． (1)求证：BC是的切线； (2)设的半径为2，求图中阴影部分的面积． 16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E． (1)求证：直线DC是⊙O的切线； (2)若BC＝4，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 17．如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC=∠EDA． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若AD⊥BC于点F，DE=4，OF=2，求图中阴影部分的面积． 18．如图，AD是⊙O的直径，，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C． (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若BD＝8，BE＝6，求AB的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）5. 【解析】分析：（1）连接OD，利用D是AC中点，O是AB中点，那么OD就是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可知OD∥BC，而DE⊥BC，则∠DEC=90°，利用平行线的性质，有∠ODE=∠DEC=90°，即DE是⊙O的切线； （2）连接BD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，即BD⊥AC，在△ABC中，点D是AC中点，于是BD是AC的垂直平分线，那么BA=BC，在Rt△CDE中，DE=2，tanC=，可求CE=4，再利用勾股定理可求CD=2，同理在Rt△CDB中，CD=2，tanC=，可求BD=，利用勾股定理可求BC=5，从而可知BA=BC=5． 解析：（1）证明：连接OD． ∵D为AC中点，O为AB中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=90°， ∴∠ODE=∠DEC=90°， ∴OD⊥DE于点D， ∴DE为⊙O的切线； （2）连接DB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=9