湖南省益阳市南县立达中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷

南县立达中学2023年上学期高二第一次月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合M＝{x|x2+3x﹣4＜0}，集合N＝{x|x≥0}，则M∪N＝（    ） A．{x|x＞﹣4} B．{x|x＞1} C．{x|x≤0} D．{x|x＜﹣4} 2．若函数，则（    ） A．1 B． C． D． 3．等差数列中，已知，，求（    ） A．11 B．22 C．33 D．44 4．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交 11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 12．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极小值点； B．函数有且只有1个零点； C．存在正整数，使得恒成立； D．对任意两个正实数，，且，若，则. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13．已知复数，则的虚部为__________． 14．数列中，若，，，则______. 15．曲线的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______． 16．已知，对任意的都有，则的取值范围为_______. 四、解答题：本大题共6小题，满分70分，写出必要的文字说明、推演步骤。 17．已知函数，，且．求： (1)a的值及曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上的最大值． 18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 19．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 20．在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 21．已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 22．设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年上学期高二数学第一次月考参考答案 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 【详解】由题设，且， 令且，则，故在上递减， 所以恒成立，即在上恒成立， 而在上值域为，所以. 9．BC 10．ACD 11．BCD 12．ABD 【详解】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ， ∴时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， ∴是的极小值点，故A正确； 对于B选项，， ∴， ∴ 函数在上单调递减， 又∵ ，， ∴ 函数有且只有1个零点，故B正确； 对于C选项，若，可得， 令，则， 令，则， ∴在上，，函数单调递增， 上，，函数单调递减， ∴， ∴， ∴在上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数，使得成立，故C错误； 对于D选项，由，结合A选项可知， 要证，即证，且， 由函数在是单调递增函数， 所以有， 由于，所以， 即证明， 令， 则，所以在是单调递减函数， 所以，即成立， 故成立，所以D正确. 13． 14． 15． 16． 【详解】由得或， 在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减. 又，，， ∴， 又对于任意的x∈[-2,2]恒成立， ∴，即a的取值范围是 17．(1)；(2) 18．（1）；（2）. 19．（1）；（2）. 20．（1）证明略；（2）. 21．（1）；（2）证明见解析，. 【详解】（1）由得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线斜率不存