2023年中考数学专题复习——二次函数存在性问题

2023中考数学专题复习——二次函数存在性问题 1. 如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D． （1）当a＝1时，求点D的坐标； （2）若点E是第一象限抛物线上的点，满足∠EAB＝∠ADC． ①求点E的纵坐标； ②试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的解析式． （2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值． （3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值． （4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y＝2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D （1）求点A到直线CD的距离； （2）平移抛物线，使抛物线的顶点P至直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴上，当以G，P，Q三点为原点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标． 4.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、（点在点的左侧）与轴交于点． ‍ (1)如图，连接、，若的面积为时，求抛物线的解析式； (2)如图，点为第四象限抛物线上一点，连接，若时，求点的横坐标； (3)如图，在（）的条件下，点在上，过点作轴于点，点在的延长线上，，，，连接并延长交抛物线于点，求的长． 5.如图，已知顶点为的抛物线经过坐标原点，经过点的直线交轴于点． (1)求这条抛物线的函数关系式及点的坐标； (2)点是该抛物线的对称轴的左侧、轴下方一段上的动点，连结，以为底边的等腰的另一顶点在轴上，过点作轴的垂线交直线于点，连结． 设的面积为．求与之间的函数关系式； (3)在（）的条件下，是否存在点，使得，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 6.如图，已知直角坐标系中，、、三点的坐标分别为（，），（，），（，），点与点关于轴对称，连接、． (1)求过、、三点的抛物线的解析式； (2)有一动点从原点出发，以每秒个单位的速度向右运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交线段于点，连接、，设点运动的时间为（＜＜）秒，求四边形的面积与的函数关系式，并求出四边形的最大面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7.如图，已知抛物线与轴交于（，）、（，）两点，与轴交于点（，）． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交直线于点，连结、．设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，有最大值，并求这个最大值； ③直线能否把分成面积之比为：的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 8.如图，已知点（﹣，），二次函数 的对称轴为直线﹣，其图象过点与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点，同时从点出发，均以每秒个三位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连结，将沿翻折，若点恰好落在抛物线弧上的′处，试求的值及点′的坐标； (3)在（）的条件下，为的中点，试探究坐标轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，试说明理由． 9.如图，抛物线（＜，、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为 x+ ． ‍ (1)求该抛物线的函数关系式与点坐标； (2)已知点（，）是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？ (3)在（）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点′，将′绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）； ‍：探究：线段上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转， 始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由； ‍：试求出此旋转过程中，（ ）的最小值． 10.如图，矩形的两边在坐标轴上，点的坐标为（，），抛物线过点，两点，且与轴的一个交点为（，），点是线段上的动点，设（＜＜）． (1)请直接写出、两点的