微专题1～2 勾股定理中的最短路径问题&与正方形有关的几个常考模型-【同步冲刺】2022-2023学年八年级下册数学微专题精讲（人教版）

书 !"# １ $%&'()*+,-./# 例题　如图，有一个圆柱，它的高等于１２ｃｍ，底 面半径等于３ｃｍ，在圆柱的底面Ａ点有一只 蚂蚁，它想沿着侧面吃到上底面上与Ａ点相 对的Ｂ点的食物，需要爬行的最短路程是多 少？（π取３） 几何体中最短路径基本模型 图例 圆柱 长 方 体 阶 梯 问 题 基 本 思 路 将立体图形展开成平面图形→利用“两 点之间，线段最短”确定最短路线→构造 直角三角形→利用勾股定理求解 １．（２０２２·佛山市顺德区期中）如图，若圆柱的 底面圆的周长是１５ｃｍ，高是８ｃｍ，从圆柱底 部Ａ处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 Ｂ处，则 这条丝线的最小长度是 （　　） Ａ．２３ｃｍ Ｂ．７ｃｍ Ｃ．３５ｃｍ Ｄ．１７ｃｍ 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２２·广州市月考）如图，圆柱形玻璃杯高 为１４ｃｍ，底面周长为３２ｃｍ，在杯内壁离杯底 ５ｃｍ的点Ｂ处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正 好在杯外壁，离杯上沿３ｃｍ与蜂蜜相对的点 Ａ处，则蚂蚁从外壁 Ａ处到内壁 Ｂ处的最短 距离为　　　　ｃｍ．（杯壁厚度不计） ３．（２０２２·中山市期中）如图是一个三级台阶， 它的每一级的长、宽、高分别为２４ｄｍ，４ｄｍ， ２ｄｍ，点Ａ和点 Ｂ是这个台阶上两个相对的 端点，Ａ点有一只蚂蚁，想到Ｂ点处去吃可口 的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 Ｂ的最 短路程是　　　　　　． ４．如图，一只蚂蚁从棱长为１的正方体纸箱的 Ａ点沿纸箱表面爬到 Ｂ点，那么它所爬行的 最短路线的长是　　　　． ５．（２０２２·惠州市期末）如图是学校艺术 馆中的柱子，高４５ｍ．为迎接艺术节的 到来，工作人员用一条花带从柱底向柱 顶均匀地缠绕３圈，一直缠到起点的正 上方为止．若柱子的底面周长是２ｍ，则 这条花带至少需要                                                              　　　　ｍ． １ !"# ２ $012345*6789:; 正方形中相交垂线段问题　 图示 模 型 说 明 正方形内，分别连接两组对边上任意两点， 得到的两条线段（如：图１中的线段ＡＦ与 ＢＥ，图２中的线段ＡＦ与ＥＧ，图３中的线段 ＨＦ与ＥＧ）满足：若垂直，则相等 １．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ， ＣＤ上的点，且ＤＥ＝ＣＦ，那么 ＢＥ和 ＡＦ有什 么数量关系和位置关系？请说明理由． 正方形中过对角线交点的直 角问题　 图示 模 型 说 明 如图，正方形 ＡＢＣＤ中，∠ＥＯＦ为直角， 则△ＡＯＥ≌△ＢＯＦ，△ＡＯＧ≌△ＢＯＨ， △ＯＧＨ是等腰直角三角形，且Ｓ四边形ＯＥＢＦ＝ Ｓ△ＡＯＢ＝ １ ４Ｓ正方形ＡＢＣＤ ２．如图，正方形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，点Ｏ又是正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｏ的一个顶点， ＯＡ１交ＡＢ于点Ｅ，ＯＣ１交ＢＣ于点Ｆ． （１）求证：△ＡＯＥ≌△ＢＯＦ； （２）如果两个正方形的边长都为ａ，那么正方 形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｏ绕Ｏ点转动，两个正方形重叠 部分的面积是定值吗？若是，求出定值；若 不是，请说明理由                                                               ． ２ 正方形中的“三垂定理”模型　 图示 模 型 说 明 如图，已知正方形ＡＢＣＤ，过Ｂ，Ｄ两点分 别向过点Ｃ的直线作垂线，垂足分别为 点Ｅ，Ｆ，则△ＢＣＥ≌△ＣＤＦ ３．如图，过正方形 ＡＢＣＤ的顶点 Ｃ作直线 ｌ，分 别过点Ｂ，Ｄ作直线 ｌ的垂线，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ．已知 ＢＥ＝６ｃｍ，ＤＦ＝４ｃｍ，求正方形 ＡＢＣＤ的面积． 正方形中的半角模型　 图示１ 模 型 说 明 如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，若∠ＥＡＦ＝ ４５°，则①ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ；②△ＣＥＦ的周 长为正方形ＡＢＣＤ边长的２倍；③ＦＡ平 分∠ＤＦＥ，ＥＡ平分∠ＢＥＦ 图示２ 模 型 说 明 如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，若∠ＥＡＦ＝ ４５°，ＦＡ平分∠ＤＦＥ，则ＥＦ＝ＤＦ－ＢＥ ４．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＡＢ上一点， 点Ｆ是ＡＤ延长线上一点，且ＤＦ＝ＢＥ． （１）求证：ＣＥ＝ＣＦ； （２）若点Ｇ在ＡＤ上，且∠ＧＣＥ＝４５°，则ＧＥ＝ ＢＥ＋ＧＤ成立吗？为什么？                                                 