专题5.2 特殊的平行四边形中的翻折、旋转与动态路径问题 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题5.2 特殊的平行四边形中的翻折、旋转与动态路径问题 专题讲练 知识储备 1、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题 解题技巧：图形的旋转和折叠，意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。 2、以特殊四边形为背景的旋转问题 解题技巧：旋转是图形的一种重要的变换，在实际解题中，既要借助于推理，更要借助直觉与观察，抓住其中变与不便的量，往往能起到开阔思路、化难为易的效果。同时也要熟练掌握旋转的基本性质。 3、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题 解题技巧：1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形； 2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系； 3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。 重要题型 题型1、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题 例1．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证； （2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）四边形是矩形 因为折叠，则是等腰三角形 （2）四边形是矩形, 设，则因为折叠，则，, 在中即解得： 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键． 变式1．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∵矩形纸片沿折叠，∴∠DEF=∠GEF， 又∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒， ∵是△EFG的外角，∴=∠GEF+∠EFG=128︒故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解． 例2．（2022·江苏初三期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（　　） A．3 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【分析】连接EG，由折叠的性质可得BE＝EF又由E是BC边的中点，可得EF＝EC，然后证得Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），得出FG＝CG＝2，继而求得线段AG的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【解析】解：连接EG， ∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC， ∵在矩形ABCD中，∴∠C＝90°，∴∠EFG＝∠B＝90°， ∵在Rt△EGF和Rt△EGC中，，∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），∴FG＝CG＝2， ∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝CG+DG＝2+1＝3，∴AF＝AB＝3，∴AG＝AF+FG＝3+2＝5， ∴BC＝AD＝＝＝2．故选：B． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．熟练掌握折叠的性质是关键． 变式2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，则______． 【答案】##度 【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，， 由翻折可知：，， ，．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 例3．（2022·广东·深圳市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知：，， 设，则，又∵∴∴ 在中，，即解得：∴点的坐标为故答案为 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及平面直角坐标系的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 变式3．（2023·辽宁沈河初三期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x