专题5.3 特殊的平行四边形中的最值与综合压轴问题 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题5.3 特殊的平行四边形中的最值与综合压轴问题 专题讲练 知识储备 以特殊平行四边形为背景的最值问题 解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值； (2)比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。 常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。 注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。 重要题型或考点 一、以特殊平行四边形为背景的最值问题 1）矩形中的最值问题 例1．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________． 【答案】6 【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度； ∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°， 在直角△ABC中，，，∴AC=8，∴， 由对称的性质，得，，∴，∴ ∵，，∴△BEF是等边三角形， ∴，∴是直角三角形， ∴，∴的最小值为6；故答案为：6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值． 变式1．（2022•沙坪坝区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是　 　． 【点睛】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E＝PE+PD的最小值，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E， 则D′E＝PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝4，∠DAC＝30°， ∵DD′⊥AC，∴∠CDD′＝30°，∴∠ADD′＝60°，∴DD′＝4，∴D′E＝6，故答案为：6． 例2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴， 即的最小值为．故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 变式2．（2022•鄂州八年级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为　 　． 【点睛】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB＝10、GG′＝AD＝5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值． 【详解】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示． ∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5， ∴E′G5，∴C四边形EFGH＝2E′G＝10．故答案为：10． 例3．（2022·湖北青山·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 ___． 【答案】 【分析】以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，利用SAS证明△ABP≌△AEQ，得∠AEQ