19.3正方形的判定(2) 课件 2022—2023学年华东师大版数学八年级下册

第19章 平行四边形的判定 19.3 正方形的判定 1 （第2课时） 1 一组邻边相等 对角线垂直 一个角是直角 对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 正方形的判定 2 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 选一选 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等. B D 3 有一直角或对角线相等 1.要使一个菱形成为正方形需增加的条件是 。 2.要使一个矩形成为正方形需添加的条件是 。 有一组邻边相等或对角线垂直 思考 4 4 例1. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H，且DH=CE=BK。 求证：四边形AKFH是一个正方形 A B C D K F H E G 证明： ∵CE= CG，CE =BK=DH ∴CG=DH=GF=EF=BK,BC=KE ∴GH=CD∴AB=AD=GH=KE ∵∠ABK=∠ADH=∠HGF=90 ∴△ABK≌△ADH≌△KEF≌△HGF ∴AK=KF=FH=HA ∵△ABK≌△ADH ∴∠KAB=∠HAD ∴∠HAK=∠DAB ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DAB=90度 ∴∠HAK=90度 ∴四边形AKHF是正方形 5 5 练习：如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。 求证:四边形CEDF为正方形 A B C D E F G ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB ∴ DE=DG 同理：DG=DF ∴ED=DF ∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠DEC= ∠DFC=90 ° 又∵ ∠C=90 ° ∴四边形ADFC是矩形 ∴四边形ADFC是正方形 6 提示：过点D作DG⊥AB，垂足为G 例3：E为正方形ABCD边BC的中点，AE平分∠BAF。 求证：AF=BC+CF A B C D E F ∵ AE平分∠BAF ∴∠BAE=∠EAH ∵AE=AE ∴⊿ABE≌⊿AHE(AAS) ∴AB=AH=BC，EH=EB=EC ∵E是BC中点 ∴BE=CE ∵HE=EC,∠EHF=∠C=90 EF=EF ∴RT⊿EHF≌RT⊿ECF(HL) ∴HF=CF ∴AF=AH+HF=BC+CF H 证明： 过E作EH⊥AF于H,连结EF ∵ABCD是正方形 ∴∠B=∠AHE=∠EHF=∠C=90° 7 想想：如果这样作图你能证明吗？ A B C D E F G 在正方形中： 1.有中点时，通常延长跟中点有关的线段构造全等三角形； 2.有角平分线时，通常过角平分线上的点向角的两边引垂线； 3.有中线时，通常加倍中线，构造全等三角形。 8 练习：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于点P。 求证：1.CF⊥BE ；2.AP=AB F E D C B A P G 提示：1.∵ABCD是正方形 ∴AD=CD=AB=BC ∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° ∵E、F分别是CD、AD的中点 ∴DF=CE ∴Rt△CDF和Rt△BCE ∴∠CBE=∠DCF ∵∠BEC+∠CBE=90° ∴∠DCF+∠BEC=90° 即CP⊥BE 2.延长BA和CF交于点G 9 ∵AF=FD,∠CDF=∠GAF ∠DFC=∠AFG ∴△CDE≌△GAE ∴AG=CD=AB ∴A是BG中点 ∵△BPG是Rt三角形 ∴AP=½BG=AB ∴AP=AB 10 作 业 P118习题 第3题 P124 B组 第12题 $