专题5.2 将军饮马模型与等腰三角形分类讨论问题 专项讲练-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题5.2 将军饮马模型与等腰三角形分类讨论问题 专项讲练 专题前言 将军饮马是由本章中的轴对称衍生而来，是初中阶段求几何最值中最简单的一部分，也是常考题型之一。该篇内容只针对于北师大版七年级下册使用，等到八年级下期（平行四边形）学完后还需掌握平移型将军饮马才算是初中阶段对将军饮马的全部要求，而计算方面由于勾股定理安排在八年级上期学习，所有我们现在涉及的将军饮马基本上关于长度的计算主要使用等面积和等边三角形性质求长度。 重要题型 题型1: 求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。 例1．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______． 【答案】8 【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM， ∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小， ∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD， ∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴， ∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD． 变式1．（2022·山东八年级期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP＋CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【详解】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称， 设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 变式2．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 【答案】15°##15度 【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数． 【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD， ∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°， ∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°， ∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形， ∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键． 变式3．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（       ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，∴AD=4， ∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点P即为所求， 如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为4，故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分