立体几何专题：折叠问题中的证明与计算5种题型-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

立体几何专题：折叠问题中的证明与计算5种题型 一、平面图形翻折为空间图形问题 1、解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征． 2、解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”． （1）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变； （2）与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变． 二、解决折叠问题的步骤 第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； 第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； 第三步：利用判定定义和性质定理进行证明。 题型一 折叠问题中的平行垂直证明 【例1】（2021·高一课时练习）边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．求证：⊥. 【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点. 证明：平面. 【变式1-2】（2022春·湖南长沙·高一湘府中学校考期末）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）已知矩形ABCD，AB＝2，，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ） A．存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直 【变式1-4】（2023春·全国·高一专题练习）如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（ ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【变式1-5】（2022·高一单元测试）（多选）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是（ ） A．存在某一位置，使得CD//平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立 题型二 折叠问题中的体积计算 【例2】（2022春·河北衡水·高一校考阶段练习）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH如图2所示. （1）证明：. （2）若，且，求三棱锥的体积. 【变式2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积． 【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，菱形中，，，为上一点，满足，将菱形沿对折，形成四面体，满足 （1）设折叠前的面积为，折叠后的面积为，求的值； （2）求三棱锥的体积 【变式2-3】（2022·山西太原·统考三模）已知三角形是边长为2的正三角形，现将菱形沿折叠，所成二面角的大小为120°，此时恰有. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积. 题型三 折叠问题中的距离计算 【例3】（2022春·辽宁鞍山·高一鞍山市第三中学校考期末）已知菱形ABCD边长为8，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD翻折成平面角为θ的二面角，若θ∈[90°，120°]，则翻折后点O到直线AC距离的取值范围为（ ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【变式3-1】（2022春·全国·高一期末）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022春·江苏常州·高一统考期末）如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点B作一平面与垂直，分别交，于点E，F. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 【变式3-3】（2023春·全国·高一专题练习）如图1，在矩形中，点E