立体几何专题：立体几何探索性问题的8种考法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

立体几何专题：立体几何探索性问题的8种考法 一、探索性问题的一般解题思路 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算． 在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在； 如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． 二、对命题条件的探索的三种方法 方法1：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． 方法2：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． 方法3：将几何问题转化为代数问题． 【注意】证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系， 当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系 题型一 线面平行条件下的动点探究 【例1】（2022春·高一课时练习）如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？若存在，请证明你的结论，并说出点F的位置；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点. （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）如图①所示，已知正三角形与正方形，将沿翻折至所在的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥.已知，，为上一点，且满足. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【变式1-3】（2022·高一单元测试）如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点. （1）若，求证：平面平面； （2）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？请说明理由. 【变式1-4】（2022春·河南·高一校联考期中）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，分别为正方形和正方形的中心，连接，. （1）证明：平面平面； （2）问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，写出点的位置并给出证明；若不存在，请说明理由. 【变式1-5】（2022春·江西萍乡·高一统考期末）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点P，使得平面？说明理由. 题型二 面面平行条件下的动点探究 【例2】（2023春·全国·高一专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点.当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由； 【变式2-1】（2022·高一课时练习）在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC?证明你的结论. 【变式2-2】（2023春·浙江宁波·高一宁波中学校联考期中）如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点. （1）求证：； （2）在线段CD上是否存在一点，使得平面平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由. 【变式2-3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？ 题型三 线线垂直条件下的动点探究 【例3】（2021春·高一课时练习）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？ 【变式3-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，三棱锥中，，，．AB上是否存在点Q，使得．若存在，求出点Q的位置并证明，若不存在，说明理由/ 【变式3-2】（2022春·吉林·高一吉林省实验校考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，，，点M为PB的中点． （1）求证：平面MAC； （2）在棱CD上是否存在一点F，使得，若存在，求PF与平面PAD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）如图1，直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现在沿着将折起到位置，得到如图2所示的四棱锥． （1）证明：． （2）若为棱的中点，试问线段上是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 题型四 线面垂直条件下的动点探究 【例4】（2023·高一课时练习）如图，正三棱柱中，，点M为的中点．在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式4-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点． （1）求证：平