导数解答题隐零点问题专练-2023届高三数学一轮复习备考

导数解答题隐零点问题专练 一、解答题 1．已知函数为的导数. (1)当时，求的最小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 2．已知，. (1)若函数的图像在处的切线与直线垂直，求; (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数． (1)求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数，，为的导数，且.证明： 在内有唯一零点； . （参考数据：，，，，.） 5．已知函数（），是的导数. （1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点； （2）已知函数在上单调递减，求的取值范围. 6．已知函数，， (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 7．已知函数． (1)讨论函数零点个数； (2)若恒成立，求a的取值范围． 8．已知函数． (1)当时，讨论的单调性 (2)证明：有唯一极值点t，且． 9．已知函数． （1）若的极小值为，求实数的值； （2）若，求证：． 10．已知函数在处的切线方程是． (1)求a，b的值； (2)若对于，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数解答题隐零点问题专练 一、解答题 1．已知函数为的导数. (1)当时，求的最小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 2．已知，. (1)若函数的图像在处的切线与直线垂直，求; (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数． (1)求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数，，为的导数，且.证明： 在内有唯一零点； . （参考数据：，，，，.） 5．已知函数（），是的导数. （1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点； （2）已知函数在上单调递减，求的取值范围. 6．已知函数，， (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 7．已知函数． (1)讨论函数零点个数； (2)若恒成立，求a的取值范围． 8．已知函数． (1)当时，讨论的单调性 (2)证明：有唯一极值点t，且． 9．已知函数． （1）若的极小值为，求实数的值； （2）若，求证：． 10．已知函数在处的切线方程是． (1)求a，b的值； (2)若对于，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围． 参考答案： 1．【解析】（1）由题意，，令，则， 当时，，，所以，从而在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值0； （2）由已知得当时，恒成立， 令，， ①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立， 若，令 则， 令，则， 令，则， ∵在在内大于零恒成立，∴函数在区间为单调递增， 又∵，，， ∴上存在唯一的使得， ∴当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数， 又∵，， ∴存在，使得， ∴当时，，为增函数，当时，，为减函数， 又∵，， ∴时，，则为增函数，∴， ∴恒成立， ②当时，在上恒成立，则在上为增函数， ∵，， ∴存在唯一的使， ∴当时，，从而在上单调递减，∴， ∴，与矛盾， 综上所述，实数的取值范围为. 2．【解析】（1）的定义域为，， ，由已知可得，即. （2）当时，，即， 化简可得，， 令，只需， ，令， 则，在上单调递增， ，， 存在唯一的，使得， 当时，，即，当时，，即， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 由得， 两边取对数得，， ，即实数a的取值范围是． 3．【解析】（1）， 令， ∵，，∴有两个不等实根（不妨设）， 而，，因此， 所以在上的解集为，即的单调减区间是， 由韦达定理得，， ， ∵，∴； （2）由题意在上恒成立， 令， ，令， 则，令， 则，令，则， 所以在上单调递减，， 所以在上单调递减，， 当，即时，， 在上单调递减，， 所以在上单调递减，成立，所以， 当，即时，在上有根，设根为， 在上，，在上， 所以在上递增，在上递减且，时，， 因此在上有解，设解为， 在上，， 单调递增，而，因此在上，，从而在上不恒成立， 综上所述，． 4．【解析】（1）由题意，函数，则 所以， 当时，可得，即在内没有零点， 当时，， 因为，所以，所以在上单调递减， 又，且， 所以在内有唯一零点. （2）由（1）得，当时，，所以，即单调递增； 当时，，所以，即单调递减， 即的最大值为， 由得，所以， 因此， 因为，所以 从而，即， 所以，故. 5．【解析】（1）由已知，，所以， 设，， 当时，单调递增，而，，且在上图象连续 不断.所以在上有唯一零点， 当时，；当时，； ∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小 值点，即在区间上存在唯一的极小值点； （