第51讲 直线与平面、平面与平面垂直-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第51讲 直线与平面、平面与平面垂直 知识梳理 1. 直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 2. 直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角． (2)范围： 3. 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 1、【2022年全国乙卷】在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2、【2021年新高考2卷】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（       ） A． B． C． D． 3、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（       ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 4、【2022年全国甲卷】在四棱锥中，底面． (1)证明：； 5、【2022年全国乙卷】如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； 1、(2022·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是(　　) A．m⊥α，n∥α，则m⊥n B．m⊥α，n⊥α，则m∥n C．m⊥α，m⊥n，则n∥α D．m⊥n，n∥α，则m⊥α 2、已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是(　　) A．m⊥l，m⊂β，l⊥α B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．l⊥α，m∥l，m∥β 3、.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 4、如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．MN∥AB B．平面VAC⊥平面VBC C．MN与BC所成的角为45° D．OC⊥平面VAC 5、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 考向一　线面垂直的判定与性质 例1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE． 变式1、如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证： (1) PH⊥平面ABCD； (2) EF⊥平面PAB. 变式2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，连接DE.求证： (1) DE∥平面AA1C1C； (2) BC1⊥AB1. 方法总结；1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线