5.3复数的三角表示（课件+练习）-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

　5.3复数的三角表示 知识梳理 一、 复数的三角表示式 1.复数的三角形式 r（cos θ+isin θ）叫做复数z＝a+bi的三角表示式， 简称三角形式. 2.辐角与辐角主值 3.复数代数形式和三角形式的转化 4.复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等 例1：把下列复数代数式化成三角式： 想一想：代数式化三角式的步骤 （1）先求复数的模 （2）决定辐角所在的象限 （3）根据象限求出辐角 （4）求出复数三角式。 小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。 9 10 11 12 二.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1.复数三角形式的乘法法则     y x O     15 例3：试证明:[r(cosθ+isinθ )]3=r3(cos3θ+isin3θ). 证明： [r(cosθ+isinθ )]3 =r(cosθ+isinθ)·r(cosθ+isinθ)· r(cosθ+isinθ) =[r(cosθ+isinθ)· r(cosθ+isinθ)]· r(cosθ+isinθ) =r2(cos2θ+isin2θ)· r(cosθ+isinθ) = r3(cos3θ+isin3θ). 16 解： 练习 当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示 17 解： 18 二、除法 复数乘除运算的几何意义   19 二、除法 这就是说，两个复数相除，商的模等 于被除数的模除以除数的模，商的辐角等 于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 所以   20 例4：计算： ，并把结果化为代 数形式.     21 解： 7.3.2复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共22张PPT) 7.3.2复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共22张PPT) A.2π－3θ B.3θ－2π C.3θ D.3θ－π 答案　B 规律方法　直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减. 小结 26 [教材提炼] 知识点　复数的三角表示式 eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题) (1)如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y? [提示]　根据三角函数的定义sin θ＝eq \f(y,r)，cos θ＝eq \f(x,r)得 x＝rcos θ，y＝rsin θ. (2)我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量eq \o(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量eq \o(OZ,\s\up15(→))的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量eq \o(OZ,\s\up15(→))所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？ [提示]　能，由图得，a＝rcos θ，b＝rsin θ.所以a＋bi＝rcos θ＋irsin θ＝r(cos θ＋isin θ)． 其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角.为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 复数三角形式的特点：非负（r）、同角（θ）、加号、前余后正. 任何一个不为零的复数，它的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 +2kπ，其中k可以取任何整数.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principal value of an argument）.通常记作arg z，即0≤arg z<2π. 注：对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的. a+bi＝rcos θ+irsin θ＝r（cos θ+isin θ）， 其中 r＝ ， cos θ＝ , sin θ＝ . (1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值. 练习1. 复数- -3i的三角形式为　　　　. 解析：因为r＝ ＝ ，cos θ＝- ，sin θ＝- ，所以θ＝ π，于是- -3i＝ . 练习2：将复数z＝1+cos 2x+isin 2x x∈ 化为三角形式，并求|z|及arg z. 解：z＝1+cos 2x+isin 2x＝2cos2x+i