18.1平行四边形的性质 精讲精练 2022—2023学年华东师大版数学八年级下册

平行四边形的性质 一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 几何语言：∵AB∥CD ,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 二、平行四边形的性质 1． 边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； ∵ 四边形ABCD为平行四边形 ∴ AB∥CD ,AD∥BC AB=CD , AD=BC 2． 角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补； ∵ 四边形ABCD为平行四边形 ∴∠A=∠C ∠B=∠D 3． 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； ∵ 四边形ABCD为平行四边形 ∴ OA=OC ,OB=OD 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； 备注：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 三、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： （1）平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； （2）平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图 S△AOB =S△AOD =S△BOC=S△DOC （3）平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：S△AOB +S△DOC=S△AOD +S△BOC 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点，图2 ∴E点坐标为(,). 又∵点E为BD的中点， ∴E点坐标为(,). ∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 例题讲解： 例1.（2023春•瑞安市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上． （1）若AC＝AD，∠CAD＝50°，求∠BCD的度数； （2）若四边形EHFG是平行四边形，求证：AE＝CF． 例2.（2023春•北仑区期中）如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，E，F分别在线段OD，OB上，且OE＝OF，连接CE，AF． （1）求证：CE＝AF； （2）若∠DBA＝45°，AB＝1． ①求BC的长； ②求直线AD与BC之间的距离． 例3.（2023春•临平区期中）如图，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF． （1）求证：BE＝DF； （2）若BE平分∠ABC，AB＝2，求▱ABCD的周长． 例4.如图所示，平面直角坐标系中有一个平行四边形，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，1）． （1）求点C、点D的坐标； （2）平行四边形ABCD的周长是多少？ （3）求平行四边形ABCD各内角的度数是多少？ 例5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,4），点B的坐标为（3,1），点C的坐标为（6,6），在直角坐标系中再找一点D，使得A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，求所有符合条件的点D的坐标. 过关训练： 1．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） A． B．6 C．8 D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC与BD相交于O，若AB＝5，AD＝3，则BD的长为（　　） A．2 B． C． D． 3题图 2题图 5题图 4题图 1题图 3．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB