河南省开封市2023届高三第三次模拟考试文科数学试题

开封市2023届高三年级第三次模拟考试 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3i 2. 已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 从3名男生，2名女生中随机抽取2名学生到社区当志愿者，则正好抽取1名男生、1名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前n项和，已知，则（ ） A. 30 B. 31 C. 61 D. 62 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A B. C. D. 11. 等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且O为坐标原点，若，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，写出一个与垂直的向量的坐标______． 14. 两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，若直线AB经过抛物线的焦点，则______． 15. 已知点，，经过B作圆切线与y轴交于点P，则______． 16. 若数列满足，（，，P为常数），则称为“等方差数列”．记为正项数列的前n项和，已知为“等方差数列”，且，，则______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 某校为了解学生每天校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，其中男生有50人．下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图．将日均校内体育锻炼时间在[60，80]内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生． （1）若该校共有1000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数； （2）根据样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？ 是否达标 性别 锻炼时间达标 锻炼时间未达标 合计 男 女 合计 附： 0.10 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成公差为2的等差数列，且． （1）求b； （2）若D是AB的中点，求CD的长． 19. 如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6． （1）证明：平面； （2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三菱锥B－EPF的体积． 20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上一点（除左、右顶点），直线PF₁，PF₂与椭圆C的另一个交点分别为A，B，且，，当m=1时，． （1）求椭圆C标准方程； （2）试判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由． 21. 已知函数． （1）讨论函数单调性； （2）若，且存在，使得在上的值域，求实数a的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 以等边三角形每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且，Q在极轴上，C为的中点．以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求所在圆P的直角坐标方程与直线CQ的极坐标方程； （2）过O引一条射线，分别交圆P，直线CQ于A，B两点，证明：为定值． 23. 已知函数． （1）若，解不等式； （2）若b=1，且不等式的解集非空，求a的取值范围． 开封市2023届高三年级第三次模拟