第六章 平面向量及其应用 综合训练-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 一、单选题 1. 若，，与的夹角为，则等于(    ) A. B. C. D. 2. 在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 4. 已知向量 ， 满足 ， ，若 ，则 (    ) A.   B. C. D. 5. 已知平面向量，，，且满足，，，则与的夹角是(    ) A. B. C. D. 6. 已知向量与不共线，，，则与共线的条件是(    ) A. B. C. D. 7. 平面向量与的夹角为，，则等于(    ) A. B. C. D. 8. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为(    ) A. B. C. D. 9. 已知是边长为的等边三角形，为的中点，为平面内一点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 10. 在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题 11. 对于任意向量，，，下列命题中不正确的是(    ) A. 若，则与中至少有一个为 B. 向量与向量夹角的范围是 C. 若，则 D. 12. 已知共面的三个向量，，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若存在唯一实数使得，则 13. 如图，在菱形中，，则以下说法正确的是(    ) A. 与相等的向量不含只有一个 B. 与的模相等的向量不含有个 C. 的模是的模的倍 D. 与不共线 14. 已知向量，，，，则(    ) A. 在上的投影向量为 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 15. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对，叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，，则下列结论中，错误的是(    ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题 16. 已知向量，，若，则          ． 17. 如图在等边中，、为边、上的点，且满足，，，分别为，的中点，则__________ ． 18. 的内角，，的对边分别为，，若，，，则的面积为          ． 19. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为          ． 20. 为的边上一点，，过点的直线分别交直线、于、，若，其中，，则的最小值__． 四、解答题 21. 已知向量与的夹角，且，． 求， 求与的夹角的余弦值． 22. 已知平面向量．    若，且，求的坐标； 若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 23. 已知向量与不共线，实数，满足，求的值． 24. 中，为边上一点，，若，， 求线段的长； 求的面积． 25. 如图，在菱形中，． 若，求的值； 若，求． 26. 为了美化环境，某公园欲将一项空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设， 当时，求小路的长度； 当草坪的面积最大时，求此时小路的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、 ； 18、 ； 19、 ； 20、  21、解：由已知，得． ． 设与的夹角为． 则， 与的夹角的余弦值为．  22、解：平面向量， ，， 由，， 当时，的坐标为；当时，的坐标为． 与的夹角为锐角，， 且与不平行， ，且， 解得 且． 即  23、解： 与不共线 ，解得，则  24、解：，， 所以， 因为，， 所以， 解得，即． 由可知，则，故BC， 不妨记，，则， 因为， 所以，解得，则， 因为，所以， 所以．  25、解：因为， 所以， 又因为， 所以， 故； ， ， 四边形为菱形，， ． ， 即．   26、解：在中，，，． 由余弦定理得，， 所以． 因为， 所以． 由正弦定理得，即， 解得． 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形， 所以且， 所以． 在中，由余弦定理得， ， 所以． 由得，， ， 此时，，且． 当时，四边形的面积最大，即， 此时，， 所以，即． 答：当时，小路的长度为百米； 草坪的面积最大时，小路的长度为百米．   $