8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

讲课人：李玉杰 时间：2023年4月27日 8.6.2直线与平面垂直 第一课时 直线与平面垂直的判定 目录 壹 贰 叁 肆 情景导入 新知初探 课堂练习 课后作业 壹 情景 导入 情景导入 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系(图8.6-7)，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. 观察： 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB 及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC 的位置在不断地变化，旗杆所在直线 AB 与其影子 BC 所在直线是否保持垂直？ 情景导入 情景导入 事实上，随着时间的变化，尽管影子 BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB 所在直线始终与影子 BC 所在直线垂直。 旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直. 思考：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 贰 新知 初探 新知初探 一般地，如果直线l与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α 互相垂直，记作l⊥α。 直线l叫做平面的α的垂线，平面α 叫做直线l的垂面。 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P叫做垂足。 直线与平面垂直 垂线 垂足 垂面 新知初探 思考： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ M · 垂线段: 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段。 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 垂线段 新知初探 直线与平面垂直的判定定理 根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。那么，有没有可行的方法？ 探究： 如右图所示，准备一块三角形的纸片ABC，过∆ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 如右图所示，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直的充要条件是折痕AD是BC 边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线 AD 与平面α内的两条相交直线BD，DC都垂直。 新知初探 新知初探 直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P ⇒ l⊥α 图形语言： 如右图所示，一条直线l与一个平面α 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点 P 向平面α 引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 新知初探 斜线与平面的所成角 取值范围： 0°≤θ≤90° 新知初探 典型例题 例1：如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． 求证：直线SD⊥平面ABC. 证明　∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC. 新知初探 例2：如图8.6-15，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角。 分析:关键是找出直线A1B在平面A1DCB1上的射影。 解:连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接AO.设正方体的棱长为a. ∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1， ∴A1B1⊥平面BCC1B1. ∴A1B1⊥BC1. 又BC1⊥B1C， ∴BC1⊥平面A1DCB1. ∴AO为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. 在Rt∆A1BO中，A1B=，BO=a ∴BO=A1B. ∠BA1O=30° ∴直线A1B和平面A1DCB1，所成的角为30°. 叁 课堂 练习 课堂练习 1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能 ( ) 　　 A．平行　　　　　　　 B．相交 C．异面 D．垂直 2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于 (　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 解析：由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C. 解析：A 因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m⊂α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行． A B 课堂练习 解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD