1.1.2空间向量的数量积运算分层梯度式训练-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2　空间向量的数量积运算 基础过关练 题组一　数量积的概念及其运算 1.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是空间中相互垂直的单位向量,则a·b=(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 2.(2022福建三明一中开学考试)在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于(　　) A.-2　　　　　　　 B.2 C.-2 3.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为　　　　.  题组二　利用空间向量的数量积求夹角 4.(2021河北张家口尚义第一中学期中)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是(　　) A.120°　　　　　　　B.60° C.30°　　　　　　　 D.45° 5.(2020贵州铜仁一中开学考试)已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为(　　) A.30°　　　　　　　 B.60° C.120°　　　　　　　D.150° 6.(2021天津西青期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则·=　　　　,B1C与A1P所成角的大小为　　　　.  题组三　利用空间向量的数量积求长度(模) 7.(2021黑龙江双鸭山一中期末)已知|a|=2,|b|=3,<a,b>=60°,则|2a-3b|等于(　　) A.　　　　　D.61 8.(2021辽宁朝阳第一高级中学期中)在底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,∠A1AD=∠A1AB=,则||=(　　) A.2 题组四　利用空间向量的数量积解决垂直问题 9.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,则λ=　　　　.  10.(2020广西柳州高级中学期中)如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点. (1)证明:AE⊥BC; (2)求直线AE与DC所成角的余弦值. 能力提升练 题组一　利用空间向量的数量积求异面直线所成角(或余弦值) 1.(2020甘肃兰州模拟)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为(　　) A.- 2.(2022天津塘沽一中月考)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=AB=2,∠BAD=60°,M是BB1的中点,则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为(　　) A.- 题组二　利用空间向量的数量积求距离(长度) 3.(2022湖北武汉洪山高级中学月考)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60°,M为CC1的中点,则AM的长度为　　　　.  4.(2022安徽合肥六中月考)如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=AB=BD=6,则C,D间的距离为　　　　.  题组三　利用空间向量的数量积证明垂直 5.(2020上海复旦大学附属中学期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. (1)证明:BE⊥PD; (2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.A　∵p⊥q且|p|=|q|=1,∴a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p· q-2q2=3+0-2=1. 2.A　·=·(-)=·-·=0-2×2×cos60° =-2. 3.答案　k>-7且k≠- 解析　由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=16k+ (2k-1)×4×8×cos120°-128=-16k-112<0,解得k>-7. 又当k=-时,a+2b与ka-b反向共线, ∴k>-7且k≠-. 名师点睛 两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角.故在实际解题中,要考虑两向量同向、反向的情形. 4.A　由题意得a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=-e1·e2-2=1-1×1× -2=-,|a|=====, |b|=====. ∴cos<a,b>===-.∴<a,b>=120°. 5.B　设向量a,b的夹角为θ,则cosθ==