8.1 成对数据的统计相关性 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1成对数据的统计相关性教案 教学目标： 1. 理解两个变量的相关关系的概念； 2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系； 3.会根据相关系数判断两个变量的相关程度．结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性 教学重难点： 重点：相关关系的概念及利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系 难点：根据相关系数判断两个变量的相关程度 教学过程： 1、 自主探究： 1. 相关关系与确定关系： 相关关系定义：两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系(correlation). 例如：体重与身高；子女的身高与父亲的身高；空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系；商品销售收人与广告支出；粮食亩产量与施肥量 确定关系定义：两个变量有关系，可以确切到由其中一个去精确地决定另一个的程度。 例如： 正方形面积与边长；圆锥的体积与底圆半径等为确定关系 说明：相关关系是一种不确定性关系;相关关系是相对于函数关系而言的. 相关关系与函数关系的异同点 关系项目 函数关系 相关关系 相同点 都是两个变量间的关系 不同点 是一种确定关系 是一种非确定关系 是一种因果关系 不一定是因果关系,也可能是伴随关系 2. 散点图 定义：把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 优点：1.通过观察散点图中成对样本数据的分布规律,我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等. 2.通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、变动范围与趋势，还可以通过观察剔除异常数值，提高估计相关程度的准确性． 缺点：无法确切地反映成对样本数据的相关程度,也就无法量化两个变量之间相关程度的大小. 3.变量相关关系的分类 (1)正相关和负相关 ①正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关. 在点散布中表现：区域从左下角到右上角的区域。 ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关. 在散点图表现：区域从左上角到右下角 O 3.线性相关与非线性相关(曲线相关) ①线性相关:散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关； ②非线性相关:一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 4.样本相关系数 样本相关系数公式：对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则 我们称为变量和变量的样本相关系数. 样本相关系数的意义：样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：r的符号反映了相关关系的正负性；|r|的大小反映了两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度． 样本相关系数r有时也称样本线性相关系数,|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. 样本相关系数的性质：①|r|≤1. ②当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． ③当|r|越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．特别地，当|r|＝1时，说明成对样本数据都落在一条直线上． 样本相关系数的说明： 1．（与散点图比较）线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关． 2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若|r|>0.75，则线性相关较为显著，否则不显著． 2、 典例讲解： 例1.根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断两个变量是否线性相关,计算样本相关系数,并推断它们的相关程度. 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 参考数据: 解：先画出散点图,如右图所示观察散点图， 可以看出样本点都集中在一条直线附近， 由此推断脂肪含量和年龄线性相关. 由样本相关系数𝑟≈0.97,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强。脂肪含量与年龄变化趋势相同.