8.6.3平面与平面垂直（第二课时）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3平面与平面垂直 第二课时 1 学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理 2.体会线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法. 2 复习引入 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. O A B 1.二面角的平面角 2.平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 符号语言： b a O a 图形语言： 3 新知探究 面面垂直研究思路 面面角→面面垂直定义→面面垂直的判定→面面垂直的性质 下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论. 如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系. 4 新知探究 探究 如图，设平面α⊥平面β， α∩β=a，则β内任意一条直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？为什么？ α β a b 显然b与a平行或相交． 当b//a时， b//α. 当b与a相交时，b与α也相交． 过点A在α内作直线c⊥a． 特别地，当b⊥a时，如图. 设b∩a＝A， α β a b c A 则b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角． ∵b⊥a, a∩c＝A， 由α⊥β知, b⊥c． ∴b⊥α． 5 由此我们得到平面与平面垂直的性质定理: 平面与平面垂直的性质定理 定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面交线，那么这条直线与另一个平面垂直.   A B 作用: 面面垂直 线面垂直 新知探究 6 这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题.例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线 ，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可. 联系生活实际 新知探究 7 新知探究 例1 求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线, 在第一个的平面内. 证明 如图，过点P在α内作直线b⊥c，则b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与β垂直， 所以直线直线a与直线b重合，因此aα. 已知： ⊥ 求证： ⊥ 8 新知探究 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系. 如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论? b//α b a b b γ⊥β a 9 新知探究 例2 如图，已知平面⊥平面β，直线a满足a⊥β，a，试判断直线a与平面的位置关系. b a  β 10 新知探究 例3 如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB ⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB． 证明 过点A作AE⊥PB，垂足为E 因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB 所以AE⊥平面PBC 因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC 又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC 所以PA⊥BC 又PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB． E P A B C E 11 新知探究 变式1 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，AF⊥PC于F. 求证：AF⊥平面PBC. A C B O P F . 证明 ∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC ∴PA⊥BC ∴BC⊥平面PAC ∴平面PBC⊥平面PAC ∴AF⊥平面PBC ∵BC⊂平面PBC 又∵AF⊥PC，AF⊂面PAC，面PBC∩面PAC=PC ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC ∵PA∩AC=A 12 新知探究 变式2 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD. (1)求证：AQ//平面CEP; (2)求证：平面AEQ⊥平面DEP. 证明 (1)在矩形ABCD中，因为AP=PB，DQ=QC， 所以AP CQ. 所以AQCP为平行四边形. 所以CP//AQ. 因为CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，所以AQ//平面CEP. 13 新知探究 (2)因为EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，所以AQ⊥EP. 因为AB=2BC，P为AB的中点，所以AP=AD. 连接PQ，则四边形ADQP为正方形. 所以AQ⊥DP. 又EP∩DP=P，所以AQ⊥平面DEP. 因为AQ⊂平面AEQ， 所以平面AEQ⊥平面DEP. 14 梳理总结 1.平面与平面垂直的