平面向量的等和线问题 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量 复习课(2) 平面向量共线定理： 已知OA=2OB+4OC,若入+μ=1，则A,B,C三点共线，反之亦然. 等和线： 平面内的一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=2OA+uOB, 若点P在直线AB上或平行于AB的直线上，则2+4=k(定值)， 反之亦成立我们把直线AB或平行于AB的直线叫做等和线。 (I)当等和线恰为AB时，k=1; (2)当等和线恰在O点与AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在0点与等和线之间时，k∈(1，+o): (4)当等和线过0点时，k=0; (⑤)若两等和线关于O点对称，则定值互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. B' B P 等差线： 平面内的一组基底0A,OB及任一向量OP,OP=2OA+uOB,(2,μ∈R) C为线段AB的中点，若点P在直线OC上或平行于OC的直线上，则 2-4=k(定值)，反之亦成立.我们把直线0C或平行于OC的直线叫做等差线. (①)当等差线恰为OC时，k=0; (2)当等差线过A点时，k=1; (3)当等差线在直线OC与点A之间时，k∈(0,1)； (4)当等差线与BA延长线相交时，k∈(1，+oo)方 (⑤)若两等差线关于直线OC点对称，则两定值k互为相反数； B 利用三点共线求参数和范围 例1.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是 区域ABCD内任意一点（含边界），且AP=入AB+μAC (2,μ∈R),则入+μ的取值范围是() A.[0,1B.0,2]C.[0,3]D.[0,4 B B H B' 解：过点P作GHI1BC,交AC,AB的延长线于G,H,则 OP=xAG+yAH,且x+y=1, 当点P位于D点时，G,H分别位于C',B' :△BCD与△ABC的面积之比为2，.AC'=3AC,AB'=3AB 所以，Op=xAG+yAF=xAC+yAB=x3AC+y3AB=AB+μAC 所以2=3y,μ=3x→元+μ=3x+3y=3 当点P位于A点时，显然有：入+μ=0，所以，选C. C' D A B H B' 例1-2.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，P是 ΔCDE内(含边界)的动点，设向量AP=mAB+nAF (m，n为实数)，则m+n的取值范围是() A.(1，3]；B.[2，4]；ⅢC.[3，4]D.[1，5] 解：当点P位于D点时， AP=AD=2BC=2AB+2AF，λ+μ=2+2=4 当点P位于直线CE上，如C，E，H点时， AP=3BC-2_AB+2_AF，λ+μ=3 所以，选C．F〈C 例1-3.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA 的延长线上，且OD=2,点P为△BCD内含边界)的动点， 设OP=0C+BOD,则a+的最大值等于， 解：当点P位于B点时，过B作GH/1BC,分别交OC,OD的延长线于G,H, 则0P=0B=20G+40H,且2+u=1, 由几何知识可知，四边形BCDH为平行四边形， 所以cG=0c,DH-0D 所以0丽=0丽=A0c+0m-A0C+00=a0c+800 B 所以a+B=a+)= H A 例1-4.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的 夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上 变动若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+的最大值 是= 解法1：当点C位于D点时， 0D=0A+0B,x=y=1,所以x+y=2 解法2：设∠AOC=a, OC.0A=xOA.0A+yoB.0A, OC.OB=xOA.OB+yOB.OB, cosa=x-2y 即 c0s(120°-a）=-x+y x+y-2fcosa+cos(I20-a)]=cosa+sina-2sin(a+)52 解法3：设OC与AB交于M,则OC=1 OCLOM=xO+O丽 OM M,A,B共线，.x+y=1,即x+y= To方o7x+y)asoW 例1-5.设长方形ABCD边长分别是AD=1,AB=2, 点P在△BCD内部和边界上运动，设AP=xAB+yAD, 则的x+2y取值范围是() A.[1,2]B.1,3]C.2,3]D.[0,2] 解：P=xB+D=x+20=五+2正， 如图，连BE,当点P在B点时，三点B,E,P共线， 且AP=AB,即x+2y=1+0=1, 当点P在C点时，AP=AC=AB+2AE=xAB+2yAE, 所以，x+2y=1+2=3,选B E B 例1-6如图所示，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与 线段BA的延长线交于圆O外的点D,若OC=mOA+nOB, 则m+的取值范围是( A.(0,1):B.(1,+oo)C.(-oo,-1);D.(-1,0) 解：因为A,B,D三点共线，所以，OD=2OA+uOB,且入+μ=1， 又由已知