考点03不等式（9种题型11个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

考点03不等式（9种题型11个易错考点） 一、 真题多维细目表 考题 考点 考向 2022新高考2，第12题 基本不等式 利用基本不等式求最值 2020新高考1，第11题 不等式的概念和性质 比较大小 二、命题规律与备考策略 本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。 三、 2022真题抢先刷，考向提前知 （多选）4．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　） A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1 【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可． 方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可． 【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1， 令，则， ∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对， ∵x2+y2＝＝＝∈[，2]， 故C对，D错， 方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即， ∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对， 对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy， ∴x2+y2≤2，故C对； ∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝， ∴，故D错误． 故选：BC． 【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题． （多选）1．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　） A．a2+b2≥ B．2a﹣b＞ C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤ 【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确． ②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确． ③，故C错误． ④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1， 利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 四、考点清单 一.不等式的基本性质 ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； ③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c． ④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d； ⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； ⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）； ⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）． 二．不等关系与不等式 ①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据． ②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a． ③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c． 推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d． ④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc． 三．不等式比较大小 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 四．基本不等式及其应用 1、求最值 2、利用基本不等式证明不等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【解题方法点拨】 技巧一：凑项 技巧二：凑系数 技巧三：分离 技巧四：换元 五．不等式的综合 1、不等式的性质 2、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”． 3、常用不等式 4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法． 比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论．