专题10-2 复数方程问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第四册）

专题10-2 复数方程问题 题型1代入法 2 题型2设出方程的根 2 题型3实系数方程虚根成对定理 3 题型4求根公式法 4 知识点.实系数一元二次方程在复数集C中解的情况： 设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c∈R且a≠0）， 1.当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根， 2.当△=b²-4ac=0时，方程有两个不相等的实数根， 3.当△=b²-4ac<0时，方程有两个不等的虚数根， 注意： 1.实系数一元二次方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0）在复数集中恒有解； 2.若实系数一元二次方 ax2＋bx＋c=0（a≠0）在复数集中有虚根，则虚根成对出现（互为共轭虚数）； 3.根与系数的关系依然适用，即不论△的正负，恒有 4.对于任意二次三项式都有ax²＋bx+c=a（x-）（x-），（a≠0），其中，是方程ax²+bx+c=0 的二根。 5.两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数. 6.复系数一元二次方程根与系数的关系依然适用，但不能根据判别式判断解的情况，且虚根通常也不是成对出现（非共轭），通常利用复数相等的方法来求解。 题型1代入法 【例题1】（2022·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 【变式1-1】1.（2023春·广东广州·高一广州市第一中学校考期中）已知是关于x的方程的一个根，则实数________，实数________. 【变式1-1】2．设方程中，为锐角，若实数是方程的一个根，求角和实数的值． 【变式1-1】3．（2021春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）设（）为关于x的方程的一个虚根，若复数z满足，则的最大值是______. 【变式1-1】4．（2023·全国·高一专题练习）关于的方程的一个根是，则___________. 【变式1-1】5．（2023春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】6．（河南省洛阳市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题）已知复数z与均为纯虚数． (1)求z； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数的值． 题型2设出方程的根 【例题2】若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解． 【变式2-1】1．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知虚数z满足. (1)求证：在复平面内对应的点在直线上； (2)若是方程的一个根，求与. 题型3实系数方程虚根成对定理 【例题3】若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________ 【变式3-1】1．（2021秋·江苏苏州·高一校考期中）已知是关于的方程的根，则________. 【变式3-1】2．（2021秋·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）已知（i是虚数单位）是关于x的方程（m、）的一个复根，且复数z满足，则的范围为________． 【变式3-1】3．（2021春·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知为虚数单位，复数为纯虚数，且为实数. (1)求复数； (2)若复数是关于的方程在复数集内的一个根，求实数和实数的值. 【变式3-1】4．（2021春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知复数（，是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 【变式3-1】5．（2021春·上海青浦·高二统考期末）已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程． (1)求和． (2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程． 【变式3-1】6．（2023春·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期中）已知复数为虚数单位. (1)若，求； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求. 题型4求根公式法 【例题4】（2023春·安徽六安·高一六安一中校考阶段练习）方程的复数根是__________. 【变式4-1】1．（2023春·福建福州·高一福州日升中学校考期中）方程在复数范围内的根为__________. 【变式4-1】2．（2023春·河南漯河·高一校考期中）方程在复数范围内的根为_______． 【变式4-1】3．（2023春·广东韶