专题六 函数与导数 热点攻关 “函数与导数”大题的常考题型探究（课件+练习）-【聚焦重难 专题透析】2023年高考数学二轮复习精品课件+重难点题型突破（全国通用）

热点攻关 跟踪训练 “函数与导数”大题的常考题型 1.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围. 2.(2022·成都模拟)已知函数f(x)=ex.(其中e是自然对数的底数) (1)写出函数f(x)的定义域,并求当a=0时函数f(x)的极值; (2)若x=0是函数f(x)的极小值点,求实数a的取值范围. 3.(2022·山东模拟)已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数; (2)若函数f(x)在x=1处取得极值,∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的最大值. 4.已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线的斜率为-1. (1)求实数a的值及函数f(x)的极值. (2)证明:当x>0时,x2<ex. 5.已知函数f(x)=ln x-. (1)若a=1,求f(x)的单调区间; (2)若a=0,x∈(0,1),证明:x2-<. 6.(2022·西安检测)已知函数f(x)=aln x++bx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+1=0. (1)求实数a,b的值及函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的不等式f(x)-2≥x+恒成立,求实数m的取值范围. 7.(2022年全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x. (1)当a=0时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围. 8.(2022年新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值. (1)求a. (2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点攻关 跟踪训练 “函数与导数”大题的常考题型 1.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围. 【解析】　因为h(x)=ln x-ax2-2x,x>0. 所以h'(x)=-ax-2. (1)若函数h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间, 则当x>0时,-ax-2<0有解,即a>-有解. 设G(x)=-,所以只要a>G(x)min. 又G(x)=-1,所以G(x)min=-1. 所以a>-1,即实数a的取值范围是(-1,+∞). (2)由h(x)在[1,4]上单调递减, 得当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立, 则a≥-恒成立.设G(x)=-,x∈[1,4], 所以a≥G(x)max. 又G(x)=-1,x∈[1,4], 所以∈, 所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-. 又当a=-时,h'(x)=+x-2=, 因为x∈[1,4],所以h'(x)=≤0, 当且仅当x=4时等号成立. 所以h(x)在[1,4]上为减函数. 故实数a的取值范围是. 2.(2022·成都模拟)已知函数f(x)=ex.(其中e是自然对数的底数) (1)写出函数f(x)的定义域,并求当a=0时函数f(x)的极值; (2)若x=0是函数f(x)的极小值点,求实数a的取值范围. 【解析】　(1)由1-x≠0得x≠1,所以f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). 当a=0时,f(x)=ex, 则f'(x)= =. 令f'(x)=0,解得x1=0,x2=, 因为当x<0时,f'(x)>0,当0<x<1或1<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0, 所以当x=0时,f(x)有极大值,极大值为f(0)=1; 当x=时,f(x)有极小值,极小值为f()=4. (2)f'(x) = =-. 记g(x)=ax2-2x-(2a-3), 因为f(x)在x=0处有极小值, 所以,存在m>0,使得当x∈(-m,0)时,f'(x)<0,即g(x)<0;当x∈(0,m)时,f'(x)>0,即g(x)<0. 故当x=0时,g(x)<0,即g(0)=-(2a-3)<0,解得a>, 所以实数a的取值范围为(,+∞). 3.(2022·山东模拟)已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数; (2)若函数f(x)在x=1处取得极值,∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的最大值. 【解析】　(