6.2.4(第二课时)排列、组合的综合应用 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

一、有限制条件的排列、组合问题 二、多面手问题 三、分组、分配问题 内容索引 6.2.4 (第二课时)排列、组合的综合应用 　　 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； 例1： 解： 一、有限制条件的排列、组合问题 (2)至多有两名女生当选； 解：至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， (3)既要有队长，又要有女生当选. 解：分两类： 所以共有495＋295＝790(种)选法. 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 反思与总结1 　(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天午餐不同的搭配方法共有 A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 √ 练习1： 　　 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 2 二、多面手问题 例2： 解：由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语. 方法一　分两类. 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法. 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法. 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语. 第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选，可分两步： 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法. 由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法. 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法. 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理. 反思与总结2 　　　 某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？ 练习2： 解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”， 第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”， 第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”， 由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法. 角度1　不同元素分组、分配问题 　　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)； 例3： 三、分组分配问题 解： (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 解： 解： “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 反思与总结3 角度2　相同元素分配问题 　　 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空； 例4： 解： (2)恰有一个空盒子. 第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板， 解： 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有 种方法. 可描述为(n－1)个空