考点29 二项分布、超几何分布和正态分布10种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册)

考点29 二项分布、超几何分布和正态分布10种常见考法归类 1. 二项分布 (1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果相互独立. (2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，且有E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 2. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. E(X)＝np. 注：超几何分布和二项分布的区别和联系（1）区别 由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布. 3. 正态分布 (1)连续型随机变量：随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. (2)正态分布：函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布. 记为X～N(μ，σ2). 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. 若X～N(μ，σ2)，则如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. (3)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. ④在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示. 图1 ⑤当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定. 当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示. 图2 (4)正态分布的均值、方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (5)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0. 682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0. 954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0. 997 3. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 4. n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k与Pk＝(1－p)k－1p. 5. 二项分布的增减性与最大值 记pk＝P(x＝k)，则当k<(n＋1)p时，pk>pk－1，pk递增；当k<(n＋1)p时，pk<pk－1，pk递减. 故pk最大值在k＝(n＋1)p时取得(此时pk＝pk－1，两项均为最大值；若(n＋1)p非整数，则k取(n＋1)p的整数部分时，pk最大且唯一). 6. 正态分布计算常用结论 (1)P(X<a)＝1－P(X≥a). (2)P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a). (3)P(X<μ－b)＝(b>0). 7. 在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率. 8. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①试验是否为n重伯努利试验；②随机变