类型十三 二次根式中的古运算公式-2022-2023学年八年级数学下册题型突破提高（苏科版）

类型十三、二次根式中的古运算公式 【解惑】 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，则△ABC的面积为____． 方法:1.根据a，b，c的值求得p＝;2然后将其代入三角形的面积S＝求值即可． 【融会贯通】 1．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝， 那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中、∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（    ） A． B． C．18 D． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，， 所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，其中a、b、c为三角形的三条边，c为最长边．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则此三角形面积为______． 【知不足】 1．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（    ） A． B． C． D．8 2．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长（周长的一半）即：；已知三角形最短边是3，最长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________． 3．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别是a，b，c，记，则其面．这便是著名的海伦-秦九韶公式．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，这个三角形的面积为_______． 4.阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式” ．解答下列问题：如图，在中，，，． (1)的面积； (2)过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【一览众山小】 1.海伦一秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为5、6、7，那么这个三角形的面积为___． 2．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在中，所对的边分别为a、b、c，则其面积为，可利用其解决下列问题．如图，在中，，则_________． 3．阅读下列材料，完成文后任务： 清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为，则第一步：求，设等于；第二步：求，设等于；第三步：分别用3，4，5乘以得三边长分别为，，． 任务： (1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长． (2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由． 4．请阅读下面材料，并解决问题： 海伦——秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202－1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式． 问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的