专题15 用样本估计总体-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 一、用样本的频率分布估计总体分布 1．概念：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为： （1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 （2）决定组距与组数 （3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图 2．频率分布直方图的特征： （1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势. （2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. 注; (1)直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． (3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 3．频率分布折线图、总体密度曲线 （1）频率分布折线图的定义： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. （2）总体密度曲线的定义： 在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 4．茎叶图 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图. 5．茎叶图的特征： (1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示. (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰. 6.总体百分位数的估计 （1）第p百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. （2）第p百分位数的计算 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤: 第1步，按从小到大的排列原始数据 第2步，计算i=n×p% 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 二、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1．众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ③平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． 2．样本方差、标准差 标准差s＝ . 其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数． 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 例题分析 考点1 频率分布直方图 【例1】（多选）．某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（　　） A．样本中支出在[50，60]内的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2000名学生，则约有600人支出在[50，60]内 变式训练 【变1-1】．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是　 　． 【变1-2】．为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为　 　． 考点2 条形图、扇形图和折线图 【例2】．某家庭2019年收入的各种用途占比统计如图 ①所示，2020年收入的各种用途占比统计如图②所示．已知2020年的“旅行”费用比2019年增加了3500元，则该家庭2020年的“衣食住”费用比2019年增加了（　　） A．2 000元 B．2500元 C．3 000元 D．3500元 变式训练 【变2-1】（多选）．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图．则下列说法正确的是（　　） A．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B．武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎