第07讲 二项式定理-2023届高考数学《考点·题型·密卷》三轮冲刺精讲精练（新高考地区专用）

第07讲：二项式定理 题型一：展开式的应用 1．（2023·江苏南通·二模）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ） A．60 B．80 C． D． 【答案】B 【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. 【详解】当时，，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以， 故选：B 2．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（    ） A． B．60 C．120 D．240 【答案】B 【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可. 【详解】因为， 所以， 所以展开式的通项为： ， 令得：， 所以展开式的常数项为， 故选：B． 3．（2023·全国·高三专题练习）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值. 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为 ，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大． 故选：A. 题型二：二项式系数 4．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】运用二项式系数最大项求出n的值，再运用二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】∵的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大， ∴， ∴， ∴的第项为，（）， ∴令，解得：， ∴，即：展开式中项的系数为. 故选：B. 5．（2023·重庆·统考二模）已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据第项与第项的二项式系数相等列出等式，解出，再用赋值法即可得出结果. 【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等， 所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：. 故选：C 6．（2022·全国·高三专题练习）在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】A 【分析】根据二项式的性质求得A，用特值法可求得B， C，再计算即可 【详解】在二项式（x﹣2y）6的展开式中，二项式系数和A＝26＝64， 令x＝y＝1，得各项系数和B＝（﹣1）6＝1， 令f（x）＝（x﹣2）6，得x的奇次幂项的系数和C＝＝＝﹣364， 所以＝﹣＝﹣． 故选：A． 题型三：三项的展开式的系数问题 7．（2023·浙江嘉兴·统考二模）的展开式中的系数为（    ） A．-60 B．240 C．-360 D．720 【答案】D 【分析】将看成6个因式，分3步分析的取法，由分步计数原理以及多项式乘法分析即可得答案. 【详解】展开式中的项可以看成6个因式中， 其中3个取，剩下的3个因式中2个取，最后一个取， 即得到. 所以展开式中项的系数为. 故选：D. 8．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含项的系数为（    ） A．－36 B．－18 C．18 D．36 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再根据的展开式求解即可. 【详解】令，则，解得， 的展开式中含项为 ， 所以展开式中含项的系数为. 故选：B 9．（2022·安徽宣城·统考二模）的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分步计数原理直接由的展开式计算常数项即可. 【详解】由的展开式可知：常数项为. 故选：B. 题型四：两个二项式展开式相乘问题 10．（2023·内蒙古包头·二模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，令可得， 在中，令可得， 因此，展开式中的系数为. 故选：D. 11．（2023·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将中含有的项都写成的形式，即可得解. 【详解】 ， 所以， 所以. 故选：D. 12．（2023·江西赣州·统考一模）已知，则（    ） A．40 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设，根据二项式展开式可得、，即可求解. 【详解】设， 则， ， 所以