第六章 实数单元大综合

实数单元大综合 实数单元大综合 1、科普阅读 无理数 无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。 无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，也就是说它是无限不循环小数。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。 无理数不能写成两整数之比。 利用有理数和无理数的主要区别，可以证明是无理数。 下面给出欧几里得《几何原本》中的证明方法： 证明：假设不是无理数，而是有理数. 既然是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：= 再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数，即最简分数形式. 把 = 两边平方得 2=， 即 2(q2)=p2， 由于2(q2)是偶数，p 必定为偶数，因此可设p=2s， 由 2(q2)=4(s2) 得 q2=2s2 由于2s²是偶数，同理q²是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以q必然也为偶数. 既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设是最简分数矛盾. 这个矛盾是由假设是有理数引起的. 因此是无理数. 2.实践活动 动手操作类 数学活动——巧算平方根 无理数在生产和生活中有着广泛的应用，很多时候需要估算无理数。为此，我们设计数学活动，巧算平方根。 活动目的 1.通过活动，加深学生对平方根和算术平方根概念的理解； 2.通过活动，培养学生合作意识和数据的处理能力； 3.通过活动，引导学生将数学应用于生活中解决问题。 活动过程 1、活动基本信息 时间 地点 参与者 2.阅读方法 （1）计算步骤如下： 步骤一：将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段,表示所求平方根是几位数； 步骤二：根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数字； 步骤三：从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数； 步骤四：把求得的最高位数乘以20再去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商； 步骤五：用商的最高位数的倍数加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数,就把试商减小再试，直接所得的积刚好小于斜数，就把这个试商作为第二段的数字； 步骤六：用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数； （2）示例：求 步骤一：划段。7，21，62，划三段，说明是 位数； 步骤二：∵，∴百位上的数字是 ； 步骤三：∵，2×20＝40，∴3放到第二段，∵321÷40＝8，48×8＝384>312，47×7＝329>312，46×6＝276<312，∴十位上的数字是 ； 步骤四：∵，，∴的个位数字是 ； ∴＝ ； （3）有上述方法计算：＝ ；＝ ； 活动评价 1.小组展示 一般以6-8人为一小组，组内展示的计算过程和结果。并将这些内容和活动图片制作成展板或小视频。 1.班级展示 各小组展出展板或播放小视频，全体学生学习和评价。 2.评价表 采用自评、小组评价、班级对小组的评价和教师评价相结合。 自我评价 A（   ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 组内评价 A（   ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 班级对小组的评价 A（   ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 教师评价 A（   ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 评价结果 A（   ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 五、单元小测 一、选择题（每题4分，共32分） （2022·贵州铜仁·中考真题） 1．在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． （2022·四川资阳·中考真题） 2．如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是(   ) A．点A B．点N C．点P D．点Q （2022·贵州安顺·中考真题） 3．下列实数中，比－5小的数是（    ） A．－6 B． C．0 D． （2022·山东