微专题11 立体几何中的截面问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题11 立体几何中的截面问题 【题型归纳目录】 题型一：判断截面形状 题型二：截面周长 题型三：截面面积 【方法技巧与总结】 1、突破思维定式，灵活分析问题 解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中． 2、注重应用经验，快速破解问题 解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题． 3、借助几何模型，化陌生为熟悉 在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果． 【典型例题】 题型一：判断截面形状 例1．（多选题）（2023·高二课时练习）已知正方体，若平面，则关于平面截此正方体所得截面的判断正确的是（    ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面形状可能为五边形 【答案】AC 【解析】如图，在正方体中，连接，，，则平面， 所以平面与平面平行或重合， 所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形，正六边形，但不可能是五边形和四边形，故A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 例2．（2023·北京昌平·高一校考期中）已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】（1）当即与重合时，过点，，的截面为正方形，不合题设 （2）当，即为中点时，，，则， 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （3）当即与重合时，取中点，中点，连接，，， 因为，所以四边形为平行四边形，所以 因为，所以四边形为平行四边形，所以 所以 所以过点，，的截面为平行四边形，不合题设 （4）当时，过作交线段于，过作交线段于，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （5）当时，取中点，在线段上截取，连接，，过作交线段的延长线于点，交线段于点，连接交于点，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为五边形，符合题设 此时，， 所以的取值范围为 故选：D 例3．（2023·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）在正方体中，点Q是棱上的动点，则过A，Q，三点的截面图形是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】所以当点与重合时，过、、三点的截面是等边三角形； 当点与重合时，过、、三点的截面是矩形； 当点与的中点重合时，取的中点,由于所以,又,故过、、三点的截面是等腰梯形，如图所示： 所以过，，三点的截面图形是可能是等边三角形、矩形或等腰梯形． 故选：D 变式1．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】如图，把截面补形为四边形， 连接，， 因为，分别为，的中点，则， 又在正方体中， 所以，则四点共面. 则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形. 故选：B. 变式2．（2023·北京·高一101中学校考期末）正方体中，分别是的中点，则正方体的过的截面图形的形状是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】D 【解析】如图所示，由，可以确定一个平面， 这个平面与正方体的棱、分别交于，， 由正方体的性质得，， 且， 正方体过，，，的截面图形的形状是正六边形． 故选：D． 题型二：截面周长 例4．（多选题）（2023·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B．平面截此正方体所得截面的周长为 C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的体积为1 【答案】BD 【解析】A：如图，连接AC，，取AC的中点O，连接OF， 因为F为的中点，所以， 又，所以不成立，故A错误； B：如图，记DC的中点为G，连接，则， 取CG的中点H，连接FH，则，所以， 得四边形为梯形，即为平面截此正方体所得的截面， 易知， 所以梯形的周长为，故B正确； C：如图，连接CE，DB，由题意知，， ，， 在中，， 由余弦定理，得， 所以， 所以； 同理可得， 所以三棱锥的表面积为，故C错误； D：记的中点为P，连接AP，在， 取BP的中点Q，连接EQ，FQ，则，所以， 所以四边形为梯形，由