8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(两个课时)-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第八章 成对数据的统计分析 8.2一元线性回归模型及其应用 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计 1 课程标准 1.集合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘的估计方法，会使用相关的统计软件 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测。 2 一 二 三 教学目标 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘的估计方法，会通过分析残差和利用判断回归模型的拟合效果. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测 教学目标 难点 重点 易错点 新知探究 探究一：最小二乘的估计以及残差 4 新知讲解 在一元线性回归模型中，表达式刻画的是变量与变量之间的线性相关关系，其中参数和未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数和刻画了变量与变量的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 5 新知讲解 问题1 如何利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近。这条直线的函数关系式是什么？这条直线的关系是怎么求？ 方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如图所示. 6 新知讲解 方法二： 在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线 如图所示. 两点确定一条直线！ 7 新知讲解 方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距 如图所示. 比较 8 新知讲解 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径. 先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 9 新知讲解 10 新知讲解 接下来，我们求该直线的方程。 设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为 由 得 显然越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小，如右图所示. 特别地，当时，表示点在这条直线上. 11 新知讲解 因此，可以用这n个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度” 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度” 12 新知讲解 所以我们可以取使达到最小的和的值作为截距和斜率的估计值. 接下来，我们看一下最小二乘法的推导过程 13 新知讲解 14 新知讲解 所以我们可以取使达到最小的和的值作为截距和斜率的估计值. 要使取得最小值，当且仅当的取值为 达到最小 15 经验回归方程与最小二乘估计： 概念生成 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用公式求得的叫做的最小二乘估计. 这里的“二乘”是平方的意思. 经验回归直线必过样本中心(, ); 与相关系数符号相同. 16 新知讲解 问题2 请你算出右边表格中的的数据回归直线方程。 对于上表中的数据，利用我们学过的公式可以计算出 =0.839 ，=28.957，求出儿 子身高关于父亲身高的经验 回归方程为 17 新知讲解 问题3 已知儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为. 如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm吗? 为什么? 显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高. 不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右. 实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体的均值的估计值. 18 新知讲解 这里的经验回归方程其斜率可以解释为父亲身高每增加1cm，其儿子身高平均增加0.839cm. 分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高，例如x=185(cm)，则=184.172(cm). 矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高 例如 ，则. 19 新知讲解 求经验回归方程的步骤： 1.计算平均数 2.计算，以及 3.计算，以及 4.带入公式求 5.带入公式求 6. 取值