6.2.4 向量的数量积（第一课时）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数 学 6.2.4-向量的数量积 第一课时 1 数 学 题型一　求向量的夹角 1 知识梳理 a b 1 3 知识梳理 1 4 课堂精讲 注意向量夹角范围是0≤θ≤π 所以求向量夹角时， 不要忽视向量方向 1 5 课堂精讲 1 6 课堂精炼 1 7 数 学 题型二　投影向量 1 知识梳理 注意:平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数,这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定.向量的数乘是实数与向量间的运算,其结果是一个向量,这个向量与原向量是共线向量. 1 9 知识梳理 1 10 课堂精讲 1 11 课堂精讲 1 12 课堂精炼 1 13 数 学 题型三　求向量的数量积 1 知识梳理 1 15 课堂精讲 (1) (2) (3) 确定两向量的夹角，一般将两向量平移至共起点 1 16 课堂精讲 1 17 课堂精炼 1 18 课堂小结 1 19 本内容结束 1 1.向量的夹角 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角. ∠AOB＝θ(0≤θ≤π) 反向 1.向量的夹角 (2)显然，当θ＝0时，a与b ； 当θ＝π时，a与b . 如果a与b的夹角是，我们说a与b ，记作 . 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0 同向 垂直 a⊥b 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 所以∠BAD＝120°， 即与的夹角是120°. 答案　C 【训练1】　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角， 在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°， a·b 2.向量的数量积的有关概念 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ， 我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)， 记作 ，即a·b＝ . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . |a||b|cosθ |a||b|cosθ 0 2.向量的数量积的有关概念 (2)投影向量 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ . |a|cosθ ＝e＝－e. 【例2】　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量. 解 (1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a在b上的投影向量为|a|cosθe＝e 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量). |b|cos θ＝2cos 60°＝2×＝1. 答案　1 【训练2】　已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影向量的模是________. 解析 已知向量a，b的夹角θ＝60°， 故b在a方向上的投影向量的模为 |a||b| ≤ |a|2 3.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝ ； (2)a⊥b⇔ ； (3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ， 特别地，a·a＝ 或|a|＝. (4)|a·b| |a|·|b|. |a|cosθ a·b＝0 －|a||b| (2)∵与的夹角为1