第2章专题特训四 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用-【拔尖特训】2022-2023学年八年级下册数学（浙教版）

19 专题特训四　一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用 类型一 应用判别式判断根的情况 1. (2021·凉山州)函数y=kx+b的图象如 图所示,则关于x 的一元二次方程x2+ bx+k-1=0的根的情况是 ( ) (第1题) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 2. 已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0, 则下列说法正确的是 ( ) A. 当k=0时,方程无解 B. 当k=1时,方程只有一个实数根 C. 当k=-1时,方程有两个相等的实 数根 D. 当k≠0时,方程总有两个不相等的实 数根 3. 已知关于x的一元二次方程2x2+3(m- 1)x+m2-4m-7=0.求证:无论m 取何 值,此方程都有两个不相等的实数根. 类型二 利用根的意义、根与系数的关系求 代数式的值 4. (2021·南充)已知方程x2-2021x+1=0 的两根分别为x1,x2,则x21- 2021 x2 的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 2021 D. -2021 5. 如果m,n 是两个不相等的实数,且满足 m2-m=3,n2-n=3,求代数式2n2- mn+2m+2023的值. 类型三 综合运用根的判别式、根与系数的 关系求字母的值或取值范围 6. 已知关于x 的一元二次方程x2-(k- 1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2.若 (x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3, 则k的值是 ( ) A. 0或2 B. -2或2 C. -2 D. 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　一元二次方程 20 7. 已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+ 2=0有两个实数根x1,x2. (1) 求m 的取值范围. (2) 若两实数根x1,x2满足(x1+1)(x2+ 1)=8,求m 的值. 类型四 运用根的判别式、根与系数的关系 求最值 8. 已知关于x的方程x2-2x+m-2=0有 两个实数根x1,x2. (1) 求m 的取值范围. (2) 求3x1+3x2-x1x2的最小值. 类型五 根的判别式、根与系数的关系与几 何知识的综合 9. 已知关于x 的一元二次方程x2-2mx+ 1 4n 2=0,其中m,n 分别是等腰三角形的 腰长和底边长. (1) 求证:这个方程有两个不相等的实 数根. (2) 若方程的两个实数根的差的绝对值是 8,且等腰三角形的面积是16,求 m,n 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级下 (2) ∵ x1+x2=2(a-1),x1x2=a2- a-2,且x21+x22-x1x2=(x1+x2)2- 3x1x2=16, ∴ [2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16. 解得a1=-1,a2=6. ∵ a<3, ∴ a的值为-1. 忽视根与系数关系的 应用条件导致出现多解 一元二次方程有实数根是应用根 与系数关系的前提条件,即在应用一元 二次方程的根与系数的关系时,必须保 证原一元二次方程的根的判别式大于 或等于0.这类问题容易犯的错误是利 用根与系数的关系求得原方程未知字 母的值后不去验算判别式是否大于或 等于0,就会得出错误答案a 的值为 -1或6,导致出现多解的错误. 15. 3 [解析]由n2+2n-1=0可知, n≠0.∴ 1+2n - 1 n2=0.∴ 1 n2- 2 n - 1=0.又∵ m2-2m-1=0,且mn≠1,即 m≠1n ,∴ m,1n 是方程x2-2x-1=0 的两个根.∴ m+1n=2.∴ mn+n+1 n = m+1+1n=2+1=3. 解决构造新方程问