8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第1课时)-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第1课时) 复习导入 在一元线性回归模型中，表达式刻画的是变量与变量之间的线性相关关系，其中参数和未知，需要根据成对样本数据进行估计.由模型的建立过程可知，参数和刻画了变量与变量的线性关系，由此通过成对样本数据估计这两个参数，相对于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 活动：利用下图的散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 新知探索 有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图所示. 有的同学可能会想，可以在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图所示. 新知探索 还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图所示. 同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行. 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径. 新知探索 先进一步明确我们面临的任务：从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.我们设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，，由，得 .显然越小，表示点与点得“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小，如图所示.特别地，当时，表示点在这条直线上. 新知探索 新知探索 因此，可以用这个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”. 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”. 在上式中，，是已知的成对样本数据，所以由和所决定，即它是和的函数.因为还可以表示为，即它是随机误差的平方和，这个和当然越小越好，所以我们取使达到最小的和的值，作为截距和斜率的估计值. 下面利用成对样本数据求使取最小值的，. 新知探索 记，.因为 ， 注意到 新知探索 所以 . 上式右边各项均为非负数，且前项与无关.所以，要使取到最小值，后一项的值应为0，即.此时 . 上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值，当且仅当的取值为 . 综上，当，的取值为(2)时，达到最小. 新知探索 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计. 对于前面表中出现的数据，利用公式(2)可以计算出，，得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，相应的经验回归直线如图所示. 新知探索 思考1：当时，.如果一位父亲的身高为，他儿子长大成人后的身高一定是吗？为什么？ 显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高.不过，我们可以作出推测，当父亲身高为时，儿子身高一般在左右. 实际上，如果把这所学校父亲身高为的所有儿子身高作为一个子总体，那么是这个子总体的均值的估计值. 这里的经验回归方程，其斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加.分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高， 例如，则； 新知探索 矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高，例如，则 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 例如，对于前面表中的第6个观测，父亲身高为，其儿子身高的观测值为，预测值为，残差为 . 新知探索 辨析1.判断正误. (1)在一元线性回归模型中，是预报真实值的随机误差，它是一个可观测的量.( ) (2)用最小二乘法求出的可能是正的，也可能是负的.( ) (3)经验回归方程必过点. 答案：×，√，√. 练习 题