专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三形 模型归纳 模型一：倍长中线法构造全等三角形 模型二：截长补短法构造全等三角形 【典例分析】 【模型一：倍长中线法构造全等三角形】 △ABC中 , AD是BC边中线 方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 （1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN 倍长中线法原理： 延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中） 【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　． A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL （2）求得AD的取值范围是 　 　． A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7 【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD． 求证：AB+AD＞2AE； 【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【模型二：截长补短法构造全等三角形】 · 截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 · 补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起 · 【典例2】（2020秋•富县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC＞BD﹣CD． 【变式2-1】（2020秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD． 【变式2-2】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系． 【典例3】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【变式3-1】（2012•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D