专题特训五 正方形中的基本模型-【拔尖特训】2022-2023学年八年级下册数学（人教版）

专题特训五　正方形中的基本模型 类型一 正方形中的“手拉手”模型 1. (2022·凤城模拟)已知四边形ABCD、四 边形BEFG 均为正方形. (1) 如图①,连接AG,CE,试判断AG 和 CE 的数量关系和位置关系,并证明. (2) 如图②,将正方形BEFG 绕点B 按顺 时针方向旋转β(0°<β<180°),连接AG, CE 相交于点M,连接MB.当β发生变化 时,∠EMB 的度数是否发生变化? 若不 发生变化,请求出∠EMB 的度数;若发生 变化,请说明理由. (3) 如图③,在(2)的条件下,过点A 作 AN⊥MB 交MB 的延长线于点N,则线 段CM 与BN 的数量关系为 . (第1题) 类型二 正方形中的对角互补模型 2. 如图①,在正方形ABCD 中,对角线AC, BD 相交于点O,过点O 作OE⊥OF 分别 交DC,BC 于点E,F,连接EF,∠FEC 的 平分线EP 交直线AC 于点P. (1) ① 求证:OF=OE. ② 写出线段EF,PC,BC 之间的一个等量 关系式,并证明你的结论. (2) 将∠EOF 绕点O 按逆时针方向旋转 一个角度,使点E,F 分别在CD,BC 的延 长线上,请在图②中完成图形并判断(1)中 的结论①②是否分别成立.若不成立,写出 相应的结论(所写结论均不必证明). (第2题) 类型三 正方形中的半角模型 3. (2022·市北期中)如图①,点E,F 分别在 正方形ABCD 的边BC,CD 上,∠EAF= 45°,连接EF,试猜想EF,BE,DF 之间的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 第十八章　平行四边形 数量关系. (1) 思路梳理: 如图①,把△ABE 绕点A 按逆时针方向旋 转90°至△ADG,可使AB 与AD 重合,由 ∠ADG=∠B=90°,得∠FDG=180°,即 点F,D,G 共线,易证△AFG≌ , 故 EF,BE,DF 之 间 的 数 量 关 系 为 . (2) 类比引申: 如图②,点E,F 分别在正方形ABCD 的 边CB,DC 的延长线上,∠EAF=45°,连 接EF,试猜想EF,BE,DF 之间的数量关 系,并说明理由. (3) 联想拓展: 如图③,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB= AC,点D,E 均在边BC 上,且∠BAD+ ∠CAE=45°.若BD=1,CE= 3,求DE 及AD 的长. (第3题) 类型四 正方形中的十字模型 4. (2022·孝南期中)如图①,P 为正方形 ABCD 的边BC 上一动点(点P 与点B,C 不重合),点Q 在边CD 上,且BP=CQ, 连接AP,BQ 交于点E. (1) 求证:AP⊥BQ. (2) 如图②,当点P 运动到BC 的中点处 时,连接DE,试猜想线段DE 与AD 之间 的数量关系,并说明理由. (3) 如图③,在(2)的条件下,过点A 作 AM⊥DE 于点H,分别交BQ,CD 于点 N,M.若AB=2,求QM 的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 数学(人教版)八年级下 中位线.∴ GH=12BN=3.75. (第7题) 8. (1) ∵ 四边形ABCD 是边长为4 的正方形, ∴ ∠C=90°,BC=CD=4. ∵ CE CD= 1 2 , ∴ CE=DE=2. 由折叠的性质,可知EN=BN.设 EN=x,则BN=x. ∴ CN=BC-BN=4-x. 在 Rt△CEN 中,由 勾 股 定 理,得 NE2=CN2+CE2,即 x2=(4- x)2+22,解得x=2.5. ∴ NE 的长为2.5. (2) 在Rt△ADE 中,由勾股定理,得 AE= AD2+DE2= 42+22=25. 由(1),可得