专题特训三 特殊四边形性质的简单计算和证明-【拔尖特训】2022-2023学年八年级下册数学（人教版）

专题特训三　特殊四边形性质的简单计算和证明 类型一 矩形的性质与判定 1. (2022·德阳)如图,在菱形ABCD 中, ∠ABC=60°,AB=23cm,过点D 作 BC 的垂线,交BC 的延长线于点H.点F 从点B 出发,沿BD 方向以2cm/s的速度 向点D 匀速运动,同时,点E 从点H 出 发,沿HD 方向以1cm/s的速度向点D 匀速运动.设点E,F 的运动时间为ts,且 0<t<3,过点F 作FG⊥BC 于点G,连 接EF. (1) 求证:四边形EFGH 是矩形. (2) 连接FC,EC,在点F,E 的运动过程 中,△BFC 与△DCE 是否能够全等? 若 能,求出此时t的值;若不能,请说明理由. (第1题) 2. 如图,在▱ABCD 中,DC>AD,四个内角 的平分线AE 和DE,BF 和CF 的交点分 别是E,F,过点E,F 分别作DC 和AB 间 的垂线MM'与NN',在DC 和AB 上的垂 足分别是M,N 与M',N',连接EF. (1) 求证:四边形EFNM 是矩形. (2) 若AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长. (第2题) 类型二 菱形的性质与判定 3. (2022·南京模拟)如图,四边形ABCD 是 平行四边形,分别以AB,AD 为腰作等腰 三角形ABF 和等腰三角形ADE,且顶角 ∠BAF=∠DAE,连接BD,FE 相交于点 G,BD 与AF 相交于点H. (1) 求证:BD=FE. (2) 若∠GHF=∠BFG,求证:四边形 ABCD 是菱形. (3) 在 (2)的 条 件 下,当 ∠BAF = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 第十八章　平行四边形 ∠DAE=90°时,连接BE.若BF=4,求 △BEF 的面积. (第3题) 类型三 正方形的性质与判定 4. (2022·炎陵期末)如图,在矩形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E,EF⊥ AD 于点F,DG⊥AE 于点G,DG 与EF 交于点O. (1) 求证:四边形ABEF 是正方形. (2) 若AD=AE,求证:AG=AB. (3) 在(2)的条件下,若AB=1,求OD的长. (第4题) 类型四 特殊平行四边形的组合 5. 如图,分别以△ABC 的三边为边在BC 的 同侧 作 三 个 等 边 三 角 形,即 △ABD, △BCE,△ACF. (1) 连接DE,EF,四边形ADEF 是什么 特殊四边形? 请说明理由. (2) 当△ABC 满足条件 时,四边 形ADEF 是矩形;当△ABC 满足条件 时,四边形 ADEF 是菱形;当 △ABC 满 足 条 件 时,四 边 形 ADEF 是正方形;当△ABC 满足条件 时,四边形ADEF 不存在.填空 并选择其中一个说明理由. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 数学(人教版)八年级下 ∵ ∠AEB= ∠AEP + ∠BEP, ∠APD = ∠AEP + ∠PAE, ∴ ∠BEP=∠PAE=90°.∴ EB⊥ ED,故③正确.如图,过点B 作BF⊥ AE,交AE的延长线于点F.∵ AE= AP,∠EAP =90°,∴ ∠AEP = ∠APE=45°.又∵ EB⊥ED,BF⊥ AF,∴ 易得∠FEB=∠FBE=45°. 在Rt△AEP 中,易得 PE= 2.在 Rt△BEP 中,由勾股定理,得BE= PB2-PE2= 5-2= 3,∴ 易 得BF=EF= 62 ,即点B 到直线AE 的距离为 6 2 ,故②不正确.∵ EF= BF= 62 ,AE=1,∴ 在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 AB2=AF2+ BF2=(AE+EF)2+BF2=4+ 6. ∴ S正方形ABCD=AB2=4+ 6,故⑤