【步步高】2015届高考数学（理科，广东）二轮专题复习配套课件+word版训练：专题九 数学思想方法（含2014年高考真题，打包8份）

专题九 数学思想方法 第 1讲 函数与方程思想 思 想 方 法 概 述 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 思想方法概述 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 2.和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0 时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切. 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 热点三 函数与方程思想在几何中的应用 热点分类突破 例1　(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________. 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 当x>0即x∈(0,1]时， 当x<0即x∈[－1,0)时， 因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4. 答案　4 (2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________. 得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)， 即F(x)在R上为奇函数. 解析　设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)， g(x)分别是定义在R上的奇函数和 偶函数， 又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， 所以x<0时，F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x>0时，F(x)也是增函数. 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3). 所以，由图可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3). 答案　(－∞，－3)∪(0,3) (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解. 思 维 升 华 变式训练1 (1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A.x＋y≥0 B.x＋y≤0 C.x－y≤0 D.x－y≥0 解析　把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y， 构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数， 所以有x≤－y. B 所以f′(x)＝2x3－6x2， 令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点， 即f(x)≥－9恒成立， 答案　A 例2　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列. (1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an； 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 又因为{an}是正项等差数列，故d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式an＝2n. 解　因为a1＝2， ＝a2·(a4＋1)， 解　因为Sn＝n(n＋1)， 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3， 要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立， (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”； (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解