专题05 全等三角形证明方法：倍长中线【考点串讲+热点题型专训】-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题05 全等三角形证明方法——倍长中线 基本模型： （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. 例题精讲： 例1．如图，中，，，D是的中点，的取值范围为 　 　． 例2．证明：直角三角形斜边中线的长度等于斜边的一半． 如图，D是的中点，，求证：． 例3．已知，，是的中线，求证：． 例4．如图，是的中线，E、F分别在、上，且 求证：． 例5．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1） 【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长． 例6．中，，以为边，在右侧作等边．如图，E为延长线上一点，连 接、，G为的中点，连接、，，证明：． 专练过关： 1．（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得x的取值范围是 　 　； （2）如图2，在中，D是边上的中点，，交于点E，交于点F，连接，求证：． 2．如图，在中，，于点M，点D在上，且，F是的 中点，连接并延长，在的延长线上有一点E，连接，且，，求的 度数． 3．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是的中点，点A在上，且． 求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点F，使，连接； ②如图2，分别过点B、C作，，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：∵延长到点E，使 在和中（已作） （ 　 　）　　　　 （中点定义） ∴（ 　 　） （2）探究得出的取值范围是 　 　； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 5．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，， 求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 6．如图，在中，F为中点，分别以、为底边向外作等腰三角形和等腰三角形， 记，． （1）若，如图，求证：，； （2）当，不等于时，若， ①在图中补全图形； ②试判断，的数量关系，并证明． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形证明方法——倍长中线 基本模型： （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. 例题精讲： 例1．如图，中，，，D是的中点，的取值范围为 　 　． 【答案】 【详解】解：延长到E，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质