第九章 整式乘法和因式分解-【题型分类归纳】2022-2023学年七年级数学下册同步讲与练（苏科版）

第九章 整式乘法和因式分解 1．理解单项式、多项式的混合乘法并运用 2．理解因式分解的步骤和方法，并学会运用． 1.整式乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ，其中 、 为正整 数． （2）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 ，其中 ， 为正整数． （3）积的乘方法则：积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 ，其中 为正整数． 【注意】 ①出现负号时要先定号、再继续计算幂的乘积． ②这些法则都可以逆用，比较常见的情况是底数互为倒数，此时要逆用积的乘方法则． （4）整式乘法分为以下情形： ①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式． ②单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即m(a+b+c)=ma+mb+mc ③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加,即（m+n）(a+b)=ma+mb+na+nb （5）整式的乘法运算要注意运算顺序：先乘法(乘方)，后加减(注意合并同类项)；有括号时，先算括号里的，去括号时一般由小到大． 【注意】整式相乘时要注意项的符号、不要漏乘，最后注意是否有同类项要合并． 2.乘法公式 平方差公式： ． 【记忆方法】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 完全平方公式： ． 【记忆方法】首平方，尾平方，首尾2倍在中央 3.因式分解 （1）把一个多项式化为几个整式乘积的形式，也叫做将多项式分解因式，因式分解和整式乘法互为逆变形. （2）因式分解的要求： ① 没有大括号和中括号． ② 每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解． ③ 单项式因式写在多项式因式前面． ④ 每个因式第一项系数一般不为负数． ⑤ 相同的因式写成幂的形式． （2）提公因式法 ：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式． 【 注 意 】 ① 公因式的系数，是多项式中各项系数的最大公约数； ② 公因式中字母的指数，是各项中都含有的字母的指数中次数最低的； ③ 遇到多项式的首项系数为负时，要把负号提取出来，并把括号内各项都改变符号； ④ 因式分解后要注意检查提取公因式后的另一个因式的项数与分解前是否一致，不要丢项． 4 公式法因式分解 ( 1 )平方差公式：， 【注意】用平方差公式做分解： ①要做分解的式子是二次二项式，且这两项符号相反； ②要做分解的式子的每一项都可以写成某个整式的平方； ③分解完的因式分别是这两个整式的和与差． (2)完全平方公式： ①要做分解的式子是二次三项式，且其中首尾两项可以写成某个整式的平方且符号相同； ②要做分解的式子的中间项可以写成上面两个整式的乘积的2倍； ③分解完的因式是这两个整式的和或差(符号由中间项的符号决定)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式乘法 【例题1-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例题1-2】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题1-3】计算的结果为_____． 【变式1-1】若中不含有x的四次项，则a的值为______． 【变式1-2】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题：如图2，已知，，则________． 【变式1-3】若的乘积中不含x的一次项，则____． 【变式1-4】已知：，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得：，你能帮他计算出正确的的答案吗？（写出计算过程） 【同步测试1-1】填空： ； ； ； … (1)______； (2)猜想： ______；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 【同步测试1-2】一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为，将原长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为， (1)如果比大196平方厘米，求原长方形的周长． (2)请说明：的差一定是7的倍数． (3)如果一个面积为的长方形和原来长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形，请直接写出x与y的关系． 【同步测试1-3】如图1，是2022年2月份的日历，选择其中所示的方框部分，将这四个数字按照：“右上角数字×左下角数字﹣左上角数字×右下角数字”进行计算． (1)计算：　 　；　 　； (2)请猜想方框里的四个数字计算结果