专题20 二次根式运算及运用-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（苏科版）

专题20 二次根式运算及运用 专题说明 二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实基础。主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。这个专题难度不大，但很重要，需要反复练习巩固。 【考点刨析】 考点1：分母有理化 分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化 有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根式为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项分母：利用. ②两项分母：利用平方差公式 如： 考点2：二次根式的混合运算 考点3：二次根式的大小比较 方法1：公式法 ： 将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小 平方法： 将二次根式平方，去掉根号，再比较大小 方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，倒数的则原二次根式反而小。 考点4： 二次根式的化简求值 【典例分析】 【考点1：分母有理化】 【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ＝；（一） ＝＝；（二） ＝＝＝；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简： ＝＝＝；（四） （1）化简＝　 　 ＝　 　 （2）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得＝　 　 ②步骤（四）式得＝　 　 （3）化简： +++…+． 【变式1-1】（2022秋•肃州区期末）阅读下列解题过程： ＝＝ ＝＝ ＝＝； … 则： （1）＝　 　；＝　 　； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝　 　； （3）利用这一规律计算：（+++…+）（）的值． 【变式1-2】（2022春•青秀区校级期中）阅读材料，并解决问题： 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式＝＝（+）．运用以上方法解决问题： （1）将分母有理化； （2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”） ①　 　； ②　 　（n≥2，且n为整数）； （3）化简：+++……+． 【变式1-3】（2022秋•六盘水期中）阅读下列解题过程： ＝＝﹣1； ＝＝﹣ ＝＝2﹣ …… 解答下列各题： （1）＝　 　； （2）观察上面的解题过程，请计算； （3）利用这一规律计算：（+++…+）（+1）． 【考点2：二次根式的混合运算】 【典例2】（2023春•临平区期中）计算： （1）（）2+﹣； （2）． 【变式2-1】（2023春•广安区校级月考）计算 （1）； （2）． 【变式2-2】（2023春•渝北区校级月考）计算： （1）； （2） 【变式2-3】（2023春•张北县校级期中）计算： （1）； （2）． 【考点3：二次根式的大小比较】 【典例3】（2021春•金坛区期末）比较大小：　 　（填写“＞”或“＝”或“＜”）． 【变式3-1】（2020秋•雨城区校级期中）比较大小：　 　（用＞，＜或＝填空）． 【变式3-2】（2020秋•成华区校级期中）比较大小：2+　 　．（用＞，＝或＜填空） 【变式3-3】（2020秋•昌平区期末）比较大小： （1）　　5； （2）　　． 【典例4】比较与的大小，并说明理由 【变式4-1】比较与的大小 【变式4-2】请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大． ①﹣与﹣； ②+与+； 【考点4： 二次根式的化简求值】 【典例5】（2022春•湖北期末）求值： （1）已知x＝﹣1，求x2+5x﹣6的值． （2）先化简，再求值：，其中m＝． 【变式5-1】（2022春•长顺县月考）先化简，再求值． （6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3． 【变式5-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中． 【变式5-3】（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，其中． 【夯实基础】 1．（2022秋•仁寿县校级月考）计算：（﹣）2＝　 　．比较大小2　 　3． 2．（2021秋•曲阳县期末）比较大小：　 　 3．（2021秋•甘州区校级期末）计算的结果是　 　，比较大小3　 　4． 4．（2023春•岱岳区校级月考）计算： （1）； （2）． 5．（2023春•长寿区校级月考）计算： （1）； （2）． 6．（2023春•江津