重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）

重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法 【目录】 题型一：弦长问题 题型二：面积问题 题型三：中点弦问题 题型四：范围问题 题型五：定点问题 题型六：定值问题 题型七：向量共线问题 ( 技巧 方法 ) 1.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 2.解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 3.圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 4.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 5.求解定点问题的常用方法有： （1）从特殊入手，求出定点（通常为特殊位置，如轴上的点），再证明这个点与变量无关； （2）直接通过题目中的几何关系进行推理、计算、化简，消去变量，从而得到定点. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 6.求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． ( 能力拓展 ) 题型一：弦长问题 一、填空题 1．（2023·上海·高二专题练习）抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段长为8，为坐标原点，则△的重心的横坐标为 ____ 二、解答题 2．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为， (1)求椭圆C的标准方程； (2)求实数的值. 3．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为4，虚轴长为2，左右焦点分别为和.直线与曲线交于不同的两点. (1)求双曲线的方程及其离心率； (2)如果直线过点且，求直线的方程； (3)是否存在直线使得两点都在以为圆心的圆上？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由. 4．（2022春·上海普陀·高二校考期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 5．（2022秋·上海徐汇·高三位育中学校考期中）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，试探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围． 题型二：面积问题 一、填空题 1．（2023·上海徐汇·统考二模）已知双曲线的左焦